Упр.5.37 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

При каком значении параметра $$p$$ система уравнений имеет одно решение:

1. $$\begin{cases} y-x^2=4, \\ y+px=4; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} y-px+3=0, \\ y=(x-1)^2-3? \end{cases}$$

а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=x^2+4.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+4+px=4,$$

$$x^2+px=0,$$

$$x(x+p)=0.$$

Чтобы система имела ровно одно решение, у этого уравнения должен быть один корень. Это возможно только при совпадении корней, то есть при $$p=0.$$

б) Преобразуем уравнения системы:

$$y=px-3,$$

$$y=(x-1)^2-3=x^2-2x-2.$$

Приравняем правые части:

$$px-3=x^2-2x-2,$$

$$x^2-(p+2)x+1=0.$$

Система имеет одно решение, если это квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(p+2)^2-4=0,$$

$$p^2+4p=0,$$

$$p(p+4)=0.$$

Отсюда $$p=0$$ или $$p=-4.$$

Ответ

а) $$p=0$$; б) $$p=0$$ или $$p=-4$$.