Упр.5.35 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

y=|x|,
x2+y=2;
б) система
x2+y2=1,
y=|x|-1;
в) система
x2-y=3-2x,
y=|x+1|-4;
г) система
x2+y2=9,
y=|x|-3.

Подробный ответ

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=2-x^2.$$
Тогда нужно найти точки пересечения графиков $$y=|x|$$ и $$y=2-x^2$$.
Проверим характерные значения:
при $$x=1$$: $$y=|1|=1$$ и $$y=2-1=1$$;
при $$x=-1$$: $$y=|-1|=1$$ и $$y=2-1=1$$.
Следовательно, точки пересечения:
$$(-1;1),\ (1;1).$$
б) Имеем систему:
$$x^2+y^2=1,$$
$$y=|x|-1.$$
Подставим $$y$$ в первое уравнение:
$$x^2+(|x|-1)^2=1.$$
Обозначим $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$ и получаем:
$$t^2+(t-1)^2=1,$$
$$2t^2-2t=0,$$
$$2t(t-1)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=1$$.
Если $$|x|=0$$, то $$x=0$$, $$y=-1$$.
Если $$|x|=1$$, то $$x=\pm1$$, $$y=0$$.
Ответ:
$$(-1;0),\ (1;0),\ (0;-1).$$
в) Преобразуем первое уравнение:
$$x^2-y=3-2x \Rightarrow y=x^2+2x-3.$$
Нужно найти пересечение графиков
$$y=x^2+2x-3$$ и $$y=|x+1|-4.$$
Решим по частям.
1) Если $$x\ge -1$$, то $$|x+1|=x+1$$, значит
$$y=x-3.$$
Тогда
$$x^2+2x-3=x-3,$$
$$x^2+x=0,$$
$$x(x+1)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-1$$. Оба значения подходят условию $$x\ge -1$$.
Получаем точки:
$$x=0 \Rightarrow y=-3,$$
$$x=-1 \Rightarrow y=-4.$$
2) Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-(x+1)$$, значит
$$y=-x-5.$$
Тогда
$$x^2+2x-3=-x-5,$$
$$x^2+3x+2=0,$$
$$ (x+1)(x+2)=0.$$
Отсюда $$x=-1$$ или $$x=-2$$. Условию $$x<-1$$ удовлетворяет только $$x=-2$$.
Тогда
$$y=-(-2)-5=-3.$$
Итак, точки пересечения:
$$(-2;-3),\ (-1;-4),\ (0;-3).$$
г) Имеем систему:
$$x^2+y^2=9,$$
$$y=|x|-3.$$
Подставим $$y$$ в уравнение окружности:
$$x^2+(|x|-3)^2=9.$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$:
$$t^2+(t-3)^2=9,$$
$$2t^2-6t=0,$$
$$2t(t-3)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=3$$.
Если $$|x|=0$$, то $$x=0$$, $$y=-3$$.
Если $$|x|=3$$, то $$x=\pm3$$, $$y=0$$.
Ответ:
$$(-3;0),\ (3;0),\ (0;-3).$$