Упр.5.34 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y-x^2=0,\\ y=\sqrt{x}; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=0{,}5x^2+2; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} (x+1)^2+(y-1)^2=9,\\ y+1=x; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} (x-1)^2+(y+4)^2=16,\\ x+y=1. \end{cases}$$
а) Перепишем систему:
$$\begin{cases} y=x^2,\\ y=\sqrt{x} \end{cases}$$
Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$x^2=\sqrt{x}, \quad x\ge 0.$$
Возведём в квадрат:
$$x^4=x \Rightarrow x(x^3-1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$
Тогда
$$y=0 \text{ или } y=1.$$
Ответ: $$(0;0) \text{ и } (1;1).$$
б) Имеем систему:
$$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=0{,}5x^2+2 \end{cases}$$
Подставим второе уравнение в первое:
$$x^2+\left(0{,}5x^2+2\right)^2=4.$$
Так как $$x^2\ge 0$$ и $$0{,}5x^2+2\ge 2$$, то на окружности $$x^2+y^2=4$$ возможно только $$y=2$$, а значит $$x=0$$.
Проверка:
$$0^2+2^2=4.$$
Ответ: $$(0;2).$$
в) Запишем систему:
$$\begin{cases} (x+1)^2+(y-1)^2=9,\\ y+1=x \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x-1.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$(x+1)^2+\bigl((x-1)-1\bigr)^2=9$$
$$(x+1)^2+(x-2)^2=9$$
$$x^2+2x+1+x^2-4x+4=9$$
$$2x^2-2x-4=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$(x-2)(x+1)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Тогда
$$y=1 \text{ или } y=-2.$$
Ответ: $$(2;1) \text{ и } (-1;-2).$$
г) Имеем систему:
$$\begin{cases} (x-1)^2+(y+4)^2=16,\\ x+y=1 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=1-x.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$(x-1)^2+\bigl((1-x)+4\bigr)^2=16$$
$$(x-1)^2+(5-x)^2=16$$
$$x^2-2x+1+x^2-10x+25=16$$
$$2x^2-12x+10=0$$
$$x^2-6x+5=0$$
$$(x-1)(x-5)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=5.$$
Тогда
$$y=0 \text{ или } y=-4.$$
Ответ: $$(1;0) \text{ и } (5;-4).$$
Ответ
а) $$(0;0),\ (1;1);$$ б) $$(0;2);$$ в) $$(2;1),\ (-1;-2);$$ г) $$(1;0),\ (5;-4).$$
