Упр.5.34 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
y-x2=0,
y= корень x;
б) система
x2+y2=4,
y=0,5×2+2;
в) система
(x+1)2+ (y-1)2=9,
y+1=x;
г) система
(x-1)2+(y+4)2=16,
x+y=1.

Подробный ответ

а) Перепишем систему:
$$ \begin{cases} y=x^2,\\ y=\sqrt{x} \end{cases} $$
Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$x^2=\sqrt{x}, \quad x\ge 0.$$
Возведём в квадрат:
$$x^4=x \Rightarrow x(x^3-1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$
Тогда
$$y=0 \text{ или } y=1.$$
Ответ: $$(0;0) \text{ и } (1;1).$$
б) Имеем систему:
$$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=0{,}5x^2+2 \end{cases} $$
Подставим второе уравнение в первое:
$$x^2+\left(0{,}5x^2+2\right)^2=4.$$
Так как $x^2\ge 0$ и $0{,}5x^2+2\ge 2$, то на окружности $x^2+y^2=4$ возможно только $y=2$, а значит $x=0$.
Проверка:
$$0^2+2^2=4.$$
Ответ: $$(0;2).$$
в) Запишем систему:
$$ \begin{cases} (x+1)^2+(y-1)^2=9,\\ y+1=x \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=x-1.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$ (x+1)^2+\bigl((x-1)-1\bigr)^2=9 $$
$$ (x+1)^2+(x-2)^2=9 $$
$$ x^2+2x+1+x^2-4x+4=9 $$
$$ 2x^2-2x-4=0 $$
$$ x^2-x-2=0 $$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Тогда
$$y=1 \text{ или } y=-2.$$
Ответ: $$(2;1) \text{ и } (-1;-2).$$
г) Имеем систему:
$$ \begin{cases} (x-1)^2+(y+4)^2=16,\\ x+y=1 \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=1-x.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$ (x-1)^2+\bigl((1-x)+4\bigr)^2=16 $$
$$ (x-1)^2+(5-x)^2=16 $$
$$ x^2-2x+1+x^2-10x+25=16 $$
$$ 2x^2-12x+10=0 $$
$$ x^2-6x+5=0 $$
$$ (x-1)(x-5)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=5.$$
Тогда
$$y=0 \text{ или } y=-4.$$
Ответ: $$(1;0) \text{ и } (5;-4).$$