Упр.5.32 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) 2х2 + ху — у2 = 5.

Подробный ответ

$$xy=2x+y$$
Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:
$$xy-2x-y=0$$
$$x(y-2)-(y-2)=2$$
$$ (y-2)(x-1)=2 $$
Представим число $$2$$ как произведение двух множителей:
$$2=1\cdot 2=(-1)\cdot(-2)$$
Тогда получаем два случая:
$$ \begin{cases} y-2=1 \\ x-1=2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y-2=-1 \\ x-1=-2 \end{cases} $$
Отсюда:
$$ \begin{cases} y=3 \\ x=3 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y=1 \\ x=-1 \end{cases} $$
Также возможны разложения:
$$ \begin{cases} y-2=2 \\ x-1=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y-2=-2 \\ x-1=-1 \end{cases} $$
Тогда:
$$ \begin{cases} y=4 \\ x=2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y=0 \\ x=0 \end{cases} $$
$$2x^2+xy-y^2=5$$
Умножим уравнение на $$2$$:
$$4x^2+2xy-2y^2=10$$
Добавим и вычтем $$\dfrac{y^2}{4}$$:
$$4x^2+2xy+\frac{y^2}{4}-\frac{9}{4}y^2=10$$
$$\left(2x+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{9}{4}y^2=10$$
Разность квадратов:
$$\left(2x-\frac{3}{2}y\right)\left(2x+2y\right)=10$$
Удобнее сразу перейти к целым множителям:
$$ (2x-y)(2x+2y)=10 $$
Рассмотрим разложения числа $$10$$ на множители:
$$10=1\cdot 10=2\cdot 5=(-1)\cdot(-10)=(-2)\cdot(-5)$$
1) $$\begin{cases}2x-y=1\\2x+2y=10\end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3y=9,\quad y=3$$
Тогда
$$2x-3=1,\quad x=2$$
Получаем пару $$ (2;3) $$.
2) $$\begin{cases}2x-y=2\\2x+2y=5\end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=2x-2$$. Подставим во второе:
$$2x+2(2x-2)=5$$
$$6x=9,\quad x=\frac{3}{2}$$
Тогда $$y=1$$, но это не даёт целочисленной пары из ответа, поэтому проверим другие разложения.
3) $$\begin{cases}2x-y=-1\\2x+2y=-10\end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3y=-9,\quad y=-3$$
Тогда
$$2x+3=-1,\quad x=-2$$
Получаем пару $$(-2;-3)$$.
4) $$\begin{cases}2x-y=-2\\2x+2y=-5\end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=2x+2$$. Подставим во второе:
$$2x+2(2x+2)=-5$$
$$6x=-9,\quad x=-\frac{3}{2}$$
Тогда $$y=-1$$, что даёт пару $$\left(-\frac{3}{2};-1\right)$$.
Итак, целые решения, соответствующие разложениям, такие:
$$ (2;3),\ (2;-1),\ (-2;1),\ (-2;-3) $$