Упр.5.31 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) $$9x^2-4y^2=5$$; б) $$x^2-9y^2=7$$.

Подробный ответ

а) $$9x^2-4y^2=5.$$

Разложим левую часть на множители:

$$9x^2-4y^2=(3x-2y)(3x+2y).$$

Тогда

$$(3x-2y)(3x+2y)=5.$$

Так как $$5=1\cdot 5=(-1)\cdot(-5),$$ рассмотрим возможные пары множителей:

$$\begin{cases} 3x-2y=1\\ 3x+2y=5 \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x-2y=5\\ 3x+2y=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x-2y=-1\\ 3x+2y=-5 \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x-2y=-5\\ 3x+2y=-1 \end{cases}$$

Решаем системы:

$$\begin{cases} 3x-2y=1\\ 3x+2y=5 \end{cases} \Rightarrow 6x=6 \Rightarrow x=1,\quad y=-1;$$

$$\begin{cases} 3x-2y=5\\ 3x+2y=1 \end{cases} \Rightarrow 6x=6 \Rightarrow x=1,\quad y=1;$$

$$\begin{cases} 3x-2y=-1\\ 3x+2y=-5 \end{cases} \Rightarrow 6x=-6 \Rightarrow x=-1,\quad y=1;$$

$$\begin{cases} 3x-2y=-5\\ 3x+2y=-1 \end{cases} \Rightarrow 6x=-6 \Rightarrow x=-1,\quad y=-1.$$

б) $$x^2-y^2=7.$$

Разложим разность квадратов:

$$x^2-y^2=(x-3y)(x+3y),$$

поэтому

$$(x-3y)(x+3y)=7.$$

Так как $$7=1\cdot 7=(-1)\cdot(-7),$$ получаем системы:

$$\begin{cases} x-3y=1\\ x+3y=7 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-3y=7\\ x+3y=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-3y=-1\\ x+3y=-7 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-3y=-7\\ x+3y=-1 \end{cases}$$

Решаем:

$$\begin{cases} x-3y=1\\ x+3y=7 \end{cases} \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4,\quad y=1;$$

$$\begin{cases} x-3y=7\\ x+3y=1 \end{cases} \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4,\quad y=-1;$$

$$\begin{cases} x-3y=-1\\ x+3y=-7 \end{cases} \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4,\quad y=-1;$$

$$\begin{cases} x-3y=-7\\ x+3y=-1 \end{cases} \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4,\quad y=1.$$