Упр.5.27 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
б) (х + 4)2 + (у — 2)2 >= 9;
в) (х + 3)2 + (у + 1)2 <= 25;
г) (х - 3)2 (y - 4)2 > 16.
Составьте уравнение окружности:
а) с центром на оси х, проходящей через точки (-4; 4) и (-2; 0);
б) с центром на оси у, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2).
а) $$\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2<4$$
Это круг с центром $$O(2;\,-3)$$ и радиусом $$R=2$$. Так как знак строгий, граница не входит.
б) $$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge 9$$
Это внешняя область и окружность с центром $$O(-4;\,2)$$ и радиусом $$R=3$$. Граница входит, так как знак нестрогий.
в) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2\le 25$$
Это круг с центром $$O(-3;\,-1)$$ и радиусом $$R=5$$. Граница входит.
г) $$\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2>16$$
Это внешняя область и окружность с центром $$O(3;\,4)$$ и радиусом $$R=4$$. Граница не входит.
Составим уравнение окружности.
а) Центр лежит на оси $$x$$, значит $$y_0=0$$. Пусть центр окружности $$O(x_0;\,0)$$. Тогда
$$ \begin{cases} (-4-x_0)^2+4^2=R^2,\\ (-2-x_0)^2+0^2=R^2. \end{cases} $$
Приравняем правые части:
$$ (-4-x_0)^2+16=(-2-x_0)^2 $$
$$ x_0^2+8x_0+16+16=x_0^2+4x_0+4 $$
$$ 4x_0+28=0,\quad x_0=-7. $$
Тогда
$$ R^2=(-4+7)^2+4^2=9+16=25. $$
Уравнение окружности:
$$ (x+7)^2+y^2=25. $$
б) Центр лежит на оси $$y$$, значит $$x_0=0$$. Пусть центр окружности $$O(0;\,y_0)$$. Тогда
$$ \begin{cases} 8^2+(y_0-0)^2=R^2,\\ (-6)^2+(y_0-2)^2=R^2. \end{cases} $$
Приравняем правые части:
$$ 64+y_0^2=36+y_0^2-4y_0+4 $$
$$ 64=40-4y_0,\quad 4y_0=-24,\quad y_0=-6. $$
Тогда
$$ R^2=8^2+(-6)^2=64+36=100. $$
Уравнение окружности:
$$ x^2+(y+6)^2=100. $$
Ответ
а) $$\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2<4$$; б) $$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge 9$$; в) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2\le 25$$; г) $$\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2>16$$; окружности: а) $$\left(x+7\right)^2+y^2=25$$, б) $$x^2+\left(y+6\right)^2=100$$.
