Упр.5.27 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2019 года:
а) $$\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2<4$$;
б) $$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\geq9$$;
в) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2\leq25$$;
г) $$\left(x-3\right)^2\left(y-4\right)^2>16$$. - Задание учебника 2010 года. Составьте уравнение окружности:
а) с центром на оси $$x$$, проходящей через точки $$(-4;4)$$ и $$(-2;0)$$;
б) с центром на оси $$y$$, проходящей через точки $$(8;0)$$ и $$(-6;2)$$.
а) $$\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2<4$$
Это круг с центром $$O(2;\,-3)$$ и радиусом $$R=2$$. Так как знак строгий, граница не входит.
б) $$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge 9$$
Это внешняя область и окружность с центром $$O(-4;\,2)$$ и радиусом $$R=3$$. Граница входит, так как знак нестрогий.
в) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2\le 25$$
Это круг с центром $$O(-3;\,-1)$$ и радиусом $$R=5$$. Граница входит.
г) $$\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2>16$$
Это внешняя область и окружность с центром $$O(3;\,4)$$ и радиусом $$R=4$$. Граница не входит.
Составим уравнение окружности.
а) Центр лежит на оси $$x$$, значит $$y_0=0$$. Пусть центр окружности $$O(x_0;\,0)$$. Тогда
$$\begin{cases} (-4-x_0)^2+4^2=R^2,\\ (-2-x_0)^2+0^2=R^2. \end{cases}$$
Приравняем правые части:
$$(-4-x_0)^2+16=(-2-x_0)^2$$
$$x_0^2+8x_0+16+16=x_0^2+4x_0+4$$
$$4x_0+28=0,\quad x_0=-7.$$
Тогда
$$R^2=(-4+7)^2+4^2=9+16=25.$$
Уравнение окружности:
$$(x+7)^2+y^2=25.$$
б) Центр лежит на оси $$y$$, значит $$x_0=0$$. Пусть центр окружности $$O(0;\,y_0)$$. Тогда
$$\begin{cases} 8^2+(y_0-0)^2=R^2,\\ (-6)^2+(y_0-2)^2=R^2. \end{cases}$$
Приравняем правые части:
$$64+y_0^2=36+y_0^2-4y_0+4$$
$$64=40-4y_0,\quad 4y_0=-24,\quad y_0=-6.$$
Тогда
$$R^2=8^2+(-6)^2=64+36=100.$$
Уравнение окружности:
$$x^2+(y+6)^2=100.$$
Ответ
а) $$\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2<4$$; б) $$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge 9$$; в) $$\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2\le 25$$; г) $$\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2>16$$; окружности: а) $$\left(x+7\right)^2+y^2=25$$, б) $$x^2+\left(y+6\right)^2=100$$.
