Упр.5.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) система
x2+y2=1,
y=x;
б) система
y=2x-1,
(x-1)2+(y+2)2=9;
в) система
x2+y2=4,
y=x2-2;
г) система
(x+2)2+(y-2)2=1,
y= корень (x+1). а) xy>0;
б) xy<=1; в) xy<=0; г) xy>2.

1. а) Подставим $$y=x$$ в уравнение окружности:

   $$ x^2+y^2=1 \\ x^2+x^2=1 \\ 2x^2=1 \\ x^2=\frac12 $$

   Тогда

   $$ x=\pm \sqrt{\frac12}, \quad y=x $$

   Получаем две точки пересечения:

   $$ \left(\sqrt{\frac12};\sqrt{\frac12}\right), \quad \left(-\sqrt{\frac12};-\sqrt{\frac12}\right) $$

   Значит, система имеет 2 решения.

2. б) Подставим $$y=2x-1$$ во второе уравнение:

   $$ (x-1)^2+(y+2)^2=9 \\ (x-1)^2+(2x-1+2)^2=9 $$

   $$ (x-1)^2+(2x+1)^2=9 $$

   $$ x^2-2x+1+4x^2+4x+1=9 $$

   $$ 5x^2+2x-7=0 $$

   Решим квадратное уравнение:

   $$ D=2^2-4\cdot 5\cdot(-7)=144 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{10} $$

   $$ x_1=-\frac75,\quad x_2=1 $$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   $$ x_1=-\frac75 \Rightarrow y_1=2\cdot\left(-\frac75\right)-1=-\frac{19}{5} $$

   $$ x_2=1 \Rightarrow y_2=2\cdot 1-1=1 $$

   Система имеет 2 решения.

3. в) Подставим $$y=x^2-2$$ в уравнение окружности:

   $$ x^2+y^2=4 \\ x^2+(x^2-2)^2=4 $$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:

   $$ t+(t-2)^2=4 $$

   $$ t+t^2-4t+4=4 $$

   $$ t^2-3t=0 $$

   $$ t(t-3)=0 $$

   Отсюда $$t=0$$ или $$t=3$$.

   1) Если $$x^2=0$$, то $$x=0$$, $$y=-2$$.

   2) Если $$x^2=3$$, то $$x=\pm \sqrt3$$, $$y=1$$.

   Итак, система имеет 3 решения.

4. г) Рассмотрим графики уравнений:

   $$ (x+2)^2+(y-2)^2=1 $$

   Это окружность с центром $$(-2;2)$$ и радиусом $$1$$.

   $$ y=\sqrt{x+1} $$

   Это график функции, определённый при $$x\ge -1$$ и лежащий в первой четверти относительно своей вершины.

   Для окружности все точки имеют $$x\le -1$$, а для графика $$y=\sqrt{x+1}$$ — $$x\ge -1$$. Общая точка возможна только при $$x=-1$$, но тогда:

   $$ y=\sqrt{-1+1}=0 $$

   Проверим в уравнении окружности:

   $$ (-1+2)^2+(0-2)^2=1+4=5\ne 1 $$

   Следовательно, общих точек нет.

5. а) $$xy>0$$ означает, что $$x$$ и $$y$$ одного знака:

   $$ x>0,\ y>0 \quad \text{или} \quad x<0,\ y<0 $$

6. б) $$xy\le 1$$ равносильно

   $$ y\le \frac{1}{x}, \quad x\ne 0 $$

   Это все точки, лежащие не выше гиперболы $$y=\frac1x$$.

7. в) $$xy\le 0$$ означает, что произведение не положительно:

   $$ x\le 0,\ y\ge 0 \quad \text{или} \quad x\ge 0,\ y\le 0 $$

8. г) $$xy>2$$ равносильно

   $$ y>\frac{2}{x}, \quad x\ne 0 $$

   Это точки, лежащие выше гиперболы $$y=\frac2x$$.

Ответ

а) 2; б) 2; в) 3; г) 0.

а) $$x>0,\ y>0$$ или $$x<0,\ y<0$$; б) $$y\le \frac1x,\ x\ne 0$$; в) $$x\le 0,\ y\ge 0$$ или $$x\ge 0,\ y\le 0$$; г) $$y>\frac2x,\ x\ne 0$$.