Упр.5.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

система
x2 + у2 = 1,
у — 2х = 1:
а) (0; 1); б) (-1; -1); в) (1; 0); г) (1; 1)?
Сколько решений имеет система уравнений:
а) система
x2+y2=1,
y=x;
б) система
y=2x-1,
(x-1)2+(y+2)2=9;
в) система
x2+y2=4,
y=x2-2;
г) система
(x+2)2+(y-2)2=1,
y= корень (x+1).

1. Проверим каждую пару подстановкой в систему
   $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y-2x=1. \end{cases}$$

   а) $$ (0;1): \quad 0^2+1^2=1,\quad 1-2\cdot 0=1 $$
   — подходит.

   б) $$ (-1;-1): \quad (-1)^2+(-1)^2=2\neq 1 $$
   — не подходит.

   в) $$ (1;0): \quad 1^2+0^2=1,\quad 0-2\cdot 1=-2\neq 1 $$
   — не подходит.

   г) $$ (1;1): \quad 1^2+1^2=2\neq 1 $$
   — не подходит.

   Подходит только пара $$ (0;1). $$

2. а) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y=x. \end{cases}$$

   Подставим $$y=x$$ в первое уравнение:

   $$x^2+x^2=1$$
   $$2x^2=1$$
   $$x^2=\frac12$$
   $$x=\pm \sqrt{\frac12}=\pm \frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда $$y=x$$, значит получаем две точки:
   $$\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

   Система имеет 2 решения.

3. б) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y=2x-1,\\ (x-1)^2+(y+2)^2=9. \end{cases}$$

   Подставим $$y=2x-1$$ во второе уравнение:

   $$ (x-1)^2+(2x-1+2)^2=9 $$
   $$ (x-1)^2+(2x+1)^2=9 $$
   $$ x^2-2x+1+4x^2+4x+1=9 $$
   $$ 5x^2+2x-7=0 $$

   Найдём корни:

   $$D=2^2-4\cdot 5\cdot(-7)=144$$
   $$x=\frac{-2\pm 12}{10}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=-\frac75$$

   Тогда

   $$x=1 \Rightarrow y=2\cdot 1-1=1,$$
   $$x=-\frac75 \Rightarrow y=2\cdot\left(-\frac75\right)-1=-\frac{19}{5}.$$

   Система имеет 2 решения.

4. в) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2-2. \end{cases}$$

   Подставим $$y=x^2-2$$ в первое уравнение:

   $$x^2+(x^2-2)^2=4$$
   $$x^2+x^4-4x^2+4=4$$
   $$x^4-3x^2=0$$
   $$x^2(x^2-3)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=\pm \sqrt3$$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   $$x=0 \Rightarrow y=-2,$$
   $$x=\pm \sqrt3 \Rightarrow y=1.$$

   Система имеет 3 решения.

5. г) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} (x+2)^2+(y-2)^2=1,\\ y=\sqrt{x+1}. \end{cases}$$

   Из второго уравнения следует $$x\ge -1$$ и $$y\ge 0.$$
   Окружность имеет центр $$(-2;2)$$ и радиус $$1$$, значит все её точки удовлетворяют
   $$x\in[-3;-1],\quad y\in[1;3].$$

   Но для функции $$y=\sqrt{x+1}$$ при $$x\ge -1$$ значения $$y$$ не меньше нуля, а при $$x=-1$$ получаем $$y=0$$.
   Подстановка возможных точек пересечения показывает, что общих точек у графиков нет.

   Система не имеет решений.

Ответ

1) $$ (0;1) $$; 2) а) 2; б) 2; в) 3; г) 0.