Упр.5.18 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) (х + 2)2 + (у — 3)2 = 0;
б) корень (2х — 1) + |2у+ 3| = 0;
в) (Зх — 4)2 + у2 = 0;
г) корень x + корень (y -1) + |z — 2| = 0.
Решите графически систему уравнений:
а) система
x=-1,
x2+y=4;
б) система
x2+y=3,
x-y+1=0;
в) система
x2-y=3,
y=6;
г) система
x2-y=4,
2x+y=-1.

1. а) $$ (x+2)^2+(y-3)^2=0 $$

   Оба слагаемых неотрицательны, значит сумма равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

   $$ \begin{cases} (x+2)^2=0,\\ (y-3)^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+2=0,\\ y-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-2,\\ y=3 \end{cases} $$

2. б) $$ \sqrt{2x-1}+|2y+3|=0 $$

   Так как $$\sqrt{2x-1}\ge 0$$ и $$|2y+3|\ge 0$$, то сумма равна нулю только при

   $$ \begin{cases} \sqrt{2x-1}=0,\\ |2y+3|=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x-1=0,\\ 2y+3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac12,\\ y=-\frac32 \end{cases} $$

3. в) $$ (3x-4)^2+y^2=0 $$

   Сумма неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

   $$ \begin{cases} (3x-4)^2=0,\\ y^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x-4=0,\\ y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac43,\\ y=0 \end{cases} $$

4. г) $$ \sqrt{x}+\sqrt{y-1}+|z-2|=0 $$

   Здесь $$\sqrt{x}\ge 0$$, $$\sqrt{y-1}\ge 0$$, $$|z-2|\ge 0$$, поэтому

   $$ \begin{cases} \sqrt{x}=0,\\ \sqrt{y-1}=0,\\ |z-2|=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0,\\ y-1=0,\\ z-2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0,\\ y=1,\\ z=2 \end{cases} $$

5. а) $$ \begin{cases} x=-1, \\ x^2+y=4 \end{cases} $$

   Подставим $$x=-1$$ во второе уравнение:

   $$ (-1)^2+y=4 \Rightarrow 1+y=4 \Rightarrow y=3 $$

   Точка пересечения графиков: $$(-1;3)$$.

6. б) $$ \begin{cases} x^2+y=3, \\ x-y+1=0 \end{cases} $$

   Выразим $$y$$:

   $$ \begin{cases} y=3-x^2,\\ y=x+1 \end{cases} $$

   Найдём точки пересечения:

   $$ 3-x^2=x+1 $$
   $$ x^2+x-2=0 $$
   $$ (x+2)(x-1)=0 $$
   $$ x=-2 \text{ или } x=1 $$

   Тогда

   $$ x=-2 \Rightarrow y=-1,\qquad x=1 \Rightarrow y=2 $$

   Точки пересечения: $$(-2;-1)$$ и $$(1;2)$$.

7. в) $$ \begin{cases} x^2-y=3, \\ y=6 \end{cases} $$

   Подставим $$y=6$$ в первое уравнение:

   $$ x^2-6=3 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=-3 \text{ или } x=3 $$

   Точки пересечения: $$(-3;6)$$ и $$(3;6)$$.

8. г) $$ \begin{cases} x^2-y=4, \\ 2x+y=-1 \end{cases} $$

   Выразим $$y$$:

   $$ \begin{cases} y=x^2-4,\\ y=-1-2x \end{cases} $$

   Приравняем:

   $$ x^2-4=-1-2x $$
   $$ x^2+2x-3=0 $$
   $$ (x+3)(x-1)=0 $$
   $$ x=-3 \text{ или } x=1 $$

   Тогда

   $$ x=-3 \Rightarrow y=5,\qquad x=1 \Rightarrow y=-3 $$

   Точки пересечения: $$(-3;5)$$ и $$(1;-3)$$.

Ответ

а) $$x=-2,\ y=3$$;
б) $$x=\frac12,\ y=-\frac32$$;
в) $$x=\frac43,\ y=0$$;
г) $$x=0,\ y=1,\ z=2$$;
а) $$(-1;3)$$;
б) $$(-2;-1)$$ и $$(1;2)$$;
в) $$(-3;6)$$ и $$(3;6)$$;
г) $$(-3;5)$$ и $$(1;-3)$$.