Упр.5.17 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2019 года. Составьте уравнение окружности:
а) с центром на оси $$x$$, проходящей через точки $$(-4; 4)$$ и $$(-2; 0)$$;
б) с центром на оси $$y$$, проходящей через точки $$(8; 0)$$ и $$(-6; 2)$$. - Задание учебника 2010 года. Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений $$\begin{cases} x^2+y^2=1, \\ y-2x=1 \end{cases}$$?
а) $$(0; 1)$$;
б) $$(-1; -1)$$;
в) $$(1; 0)$$;
г) $$(1; 1)$$.
а) Центр окружности лежит на оси $$x$$, значит его координаты имеют вид $$O(x_0; 0)$$.
Так как окружность проходит через точки $$A(-4; 4)$$ и $$B(-2; 0)$$, то радиусы, проведённые в эти точки, равны:
$$(-4-x_0)^2+4^2=R^2,$$
$$(-2-x_0)^2+0^2=R^2.$$
Приравняем правые части:
$$(-4-x_0)^2+16=(-2-x_0)^2.$$
$$x_0^2+8x_0+16+16=x_0^2+4x_0+4,$$
$$4x_0+28=0,$$
$$x_0=-7.$$
Тогда
$$R^2=(-4+7)^2+4^2=9+16=25.$$
Уравнение окружности:
$$(x+7)^2+y^2=25.$$
б) Центр окружности лежит на оси $$y$$, значит его координаты имеют вид $$O(0; y_0)$$.
Окружность проходит через точки $$A(8; 0)$$ и $$B(-6; 2)$$, поэтому:
$$8^2+(0-y_0)^2=R^2,$$
$$(-6)^2+(2-y_0)^2=R^2.$$
Приравняем:
$$64+y_0^2=36+(2-y_0)^2,$$
$$64+y_0^2=36+y_0^2-4y_0+4,$$
$$64=40-4y_0,$$
$$4y_0=-24,$$
$$y_0=-6.$$
Тогда
$$R^2=8^2+(-6)^2=64+36=100.$$
Уравнение окружности:
$$x^2+(y+6)^2=100.$$
Проверим пары чисел в системе
$$\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y-2x=1. \end{cases}$$
а) $$(0;1)$$:
$$0^2+1^2=1,\qquad 1-2\cdot 0=1.$$
Подходит.
б) $$(-1;-1)$$:
$$(-1)^2+(-1)^2=2\neq 1.$$
Не подходит.
в) $$(1;0)$$:
$$1^2+0^2=1,\qquad 0-2\cdot 1=-2\neq 1.$$
Не подходит.
г) $$(1;1)$$:
$$1^2+1^2=2\neq 1.$$
Не подходит.
Ответ
а) $$(x+7)^2+y^2=25;$$ б) $$x^2+(y+6)^2=100;$$ решением системы является пара $$(0;1).$$
