Упр.5.17 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) с центром на оси х, проходящей через точки (-4; 4) и (-2; 0);
б) с центром на оси у, проходящей через точки (8; 0) и (-6; 2). Какая из следующих пар чисел является решением системы уравнений
система
x2 + у2 = 1,
у — 2х = 1:
а) (0; 1); б) (-1; -1); в) (1; 0); г) (1; 1)?

а) Центр окружности лежит на оси $$x$$, значит его координаты имеют вид $$O(x_0; 0)$$.

Так как окружность проходит через точки $$A(-4; 4)$$ и $$B(-2; 0)$$, то радиусы, проведённые в эти точки, равны:

$$(-4-x_0)^2+4^2=R^2,$$

$$(-2-x_0)^2+0^2=R^2.$$

Приравняем правые части:

$$(-4-x_0)^2+16=(-2-x_0)^2.$$

$$x_0^2+8x_0+16+16=x_0^2+4x_0+4,$$

$$4x_0+28=0,$$

$$x_0=-7.$$

Тогда

$$R^2=(-4+7)^2+4^2=9+16=25.$$

Уравнение окружности:

$$ (x+7)^2+y^2=25. $$

б) Центр окружности лежит на оси $$y$$, значит его координаты имеют вид $$O(0; y_0)$$.

Окружность проходит через точки $$A(8; 0)$$ и $$B(-6; 2)$$, поэтому:

$$8^2+(0-y_0)^2=R^2,$$

$$(-6)^2+(2-y_0)^2=R^2.$$

Приравняем:

$$64+y_0^2=36+(2-y_0)^2,$$

$$64+y_0^2=36+y_0^2-4y_0+4,$$

$$64=40-4y_0,$$

$$4y_0=-24,$$

$$y_0=-6.$$

Тогда

$$R^2=8^2+(-6)^2=64+36=100.$$

Уравнение окружности:

$$x^2+(y+6)^2=100.$$

Проверим пары чисел в системе

$$ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ y-2x=1. \end{cases} $$

а) $$ (0;1) $$:

$$0^2+1^2=1,\qquad 1-2\cdot 0=1.$$

Подходит.

б) $$ (-1;-1) $$:

$$(-1)^2+(-1)^2=2\neq 1.$$

Не подходит.

в) $$ (1;0) $$:

$$1^2+0^2=1,\qquad 0-2\cdot 1=-2\neq 1.$$

Не подходит.

г) $$ (1;1) $$:

$$1^2+1^2=2\neq 1.$$

Не подходит.

Ответ

а) $$ (x+7)^2+y^2=25; $$ б) $$ x^2+(y+6)^2=100; $$ решением системы является пара $$ (0;1). $$