Упр.5.16 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) А(-4; 7), В(6; -3); б) А(-1; -6), В(7; 0).
Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:
а) система
x2+y2=13,
2x+y=7;
б) система
x2+y=5,
3x-1=y;
в) система
x2+3y=13,
y+x=1;
г) система
x2+y2=4,
5x-2y=4?

Подробный ответ

1) Составим уравнение окружности по диаметру $AB$.

Центр окружности — середина отрезка $AB$.

а) $A(-4; 7)$, $B(6; -3)$

$$ x_0=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad y_0=\frac{7+(-3)}{2}=2 $$
$$ R=\sqrt{(-4-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50} $$
$$ (x-1)^2+(y-2)^2=50 $$

б) $A(-1; -6)$, $B(7; 0)$

$$ x_0=\frac{-1+7}{2}=3,\qquad y_0=\frac{-6+0}{2}=-3 $$
$$ R=\sqrt{(-1-3)^2+(-6+3)^2}=\sqrt{16+9}=5 $$
$$ (x-3)^2+(y+3)^2=25 $$

2) Проверим, является ли пара чисел $(2; 3)$ решением системы.

а)
$$ \begin{cases} x^2+y^2=13 \\ 2x+y=7 \end{cases} $$
Подставим $x=2$, $y=3$:
$$ 2^2+3^2=4+9=13,\qquad 2\cdot 2+3=4+3=7 $$
Пара $(2;3)$ подходит.

б)
$$ \begin{cases} x^2+y=5 \\ 3x-1=y \end{cases} $$
Подставим $x=2$, $y=3$:
$$ 2^2+3=4+3=7\ne 5,\qquad 3\cdot 2-1=6-1=5\ne 3 $$
Пара $(2;3)$ не подходит.

в)
$$ \begin{cases} x^2+3y=13 \\ y+x=1 \end{cases} $$
Подставим $x=2$, $y=3$:
$$ 2^2+3\cdot 3=4+9=13,\qquad 3+2=5\ne 1 $$
Пара $(2;3)$ не подходит.

г)
$$ \begin{cases} x^2+y^2=4 \\ 5x-2y=4 \end{cases} $$
Подставим $x=2$, $y=3$:
$$ 2^2+3^2=4+9=13\ne 4,\qquad 5\cdot 2-2\cdot 3=10-6=4 $$
Пара $(2;3)$ не подходит.