Упр.5.16 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, если: а) $$А(-4; 7),\ В(6; -3)$$; б) $$А(-1; -6),\ В(7; 0)$$.
Является ли пара чисел $$(2; 3)$$ решением системы уравнений: а) $$\begin{cases}x^2+y^2=13,\\2x+y=7;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x^2+y=5,\\3x-1=y;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}x^2+3y=13,\\y+x=1;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}x^2+y^2=4,\\5x-2y=4? \end{cases}$$

Подробный ответ

1) Составим уравнение окружности по диаметру $$AB$$.

Центр окружности — середина отрезка $$AB$$.

а) $$A(-4; 7)$$, $$B(6; -3)$$

$$x_0=\frac{-4+6}{2}=1,\qquad y_0=\frac{7+(-3)}{2}=2$$
$$R=\sqrt{(-4-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$$
$$(x-1)^2+(y-2)^2=50$$

б) $$A(-1; -6)$$, $$B(7; 0)$$

$$x_0=\frac{-1+7}{2}=3,\qquad y_0=\frac{-6+0}{2}=-3$$
$$R=\sqrt{(-1-3)^2+(-6+3)^2}=\sqrt{16+9}=5$$
$$(x-3)^2+(y+3)^2=25$$

2) Проверим, является ли пара чисел $$(2; 3)$$ решением системы.

а)
$$\begin{cases} x^2+y^2=13 \\ 2x+y=7 \end{cases}$$
Подставим $$x=2$$, $$y=3$$:
$$2^2+3^2=4+9=13,\qquad 2\cdot 2+3=4+3=7$$
Пара $$(2;3)$$ подходит.

б)
$$\begin{cases} x^2+y=5 \\ 3x-1=y \end{cases}$$
Подставим $$x=2$$, $$y=3$$:
$$2^2+3=4+3=7\ne 5,\qquad 3\cdot 2-1=6-1=5\ne 3$$
Пара $$(2;3)$$ не подходит.

в)
$$\begin{cases} x^2+3y=13 \\ y+x=1 \end{cases}$$
Подставим $$x=2$$, $$y=3$$:
$$2^2+3\cdot 3=4+9=13,\qquad 3+2=5\ne 1$$
Пара $$(2;3)$$ не подходит.

г)
$$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ 5x-2y=4 \end{cases}$$
Подставим $$x=2$$, $$y=3$$:
$$2^2+3^2=4+9=13\ne 4,\qquad 5\cdot 2-2\cdot 3=10-6=4$$
Пара $$(2;3)$$ не подходит.