Упр.5.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Составьте уравнение окружности:
а) с центром в точке $$(-5; 2)$$, касающейся оси $$y$$;
б) с центром в точке $$(12; -5)$$, проходящей через начало координат;
в) с центром в точке $$(-4; -6)$$, касающейся оси $$x$$;
г) с центром в точке $$(2; 1)$$, проходящей через точку $$(-4; -7)$$. - Найдите решения уравнения:
а) $$(x + 2)^2 + (y — 3)^2 = 0$$;
б) $$\sqrt{2x — 1} + |2y + 3| = 0$$;
в) $$(3x — 4)^2 + y^2 = 0$$;
г) $$\sqrt{x} + \sqrt{y — 1} + |z — 2| = 0$$.
Уравнение окружности с центром в точке $$\left(x_0; y_0\right)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид:
$$\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=R^2.$$
а) Центр $$(-5; 2)$$, окружность касается оси $$y$$, значит радиус равен расстоянию от центра до оси $$y$$:
$$R=|-5|=5.$$
Тогда
$$\left(x+5\right)^2+\left(y-2\right)^2=25.$$
б) Центр $$\left(12; -5\right)$$, окружность проходит через начало координат, значит
$$R=\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$
Следовательно,
$$\left(x-12\right)^2+\left(y+5\right)^2=169.$$
в) Центр $$(-4; -6)$$, окружность касается оси $$x$$, значит радиус равен расстоянию от центра до оси $$x$$:
$$R=|-6|=6.$$
Тогда
$$\left(x+4\right)^2+\left(y+6\right)^2=36.$$
г) Центр $$\left(2; 1\right)$$, окружность проходит через точку $$(-4; -7)$$, значит
$$R=\sqrt{(-4-2)^2+(-7-1)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$
Следовательно,
$$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=100.$$
Теперь решим уравнения.
а)
$$\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=0.$$
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$\left(x+2\right)^2=0 \\ \left(y-3\right)^2=0$$
Отсюда
$$x=-2,\quad y=3.$$
б)
$$\sqrt{2x-1}+|2y+3|=0.$$
Оба слагаемых неотрицательны, значит сумма равна нулю только при
$$\sqrt{2x-1}=0 \\ |2y+3|=0$$
Тогда
$$2x-1=0 \\ 2y+3=0$$
Отсюда
$$x=\frac12,\quad y=-\frac32.$$
в)
$$\left(3x-4\right)^2+y^2=0.$$
Сумма неотрицательных выражений равна нулю только при
$$\left(3x-4\right)^2=0 \\ y^2=0$$
Отсюда
$$3x-4=0 \\ y=0$$
Следовательно,
$$x=\frac43,\quad y=0.$$
г)
$$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+|z-2|=0.$$
Каждое слагаемое неотрицательно, значит
$$\sqrt{x}=0 \\ \sqrt{y-1}=0 \\ |z-2|=0$$
Тогда
$$x=0 \\ y-1=0 \\ z-2=0$$
Отсюда
$$x=0,\quad y=1,\quad z=2.$$
Ответ
1) а) $$\left(x+5\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$; б) $$\left(x-12\right)^2+\left(y+5\right)^2=169$$; в) $$\left(x+4\right)^2+\left(y+6\right)^2=36$$; г) $$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=100$$.
2) а) $$x=-2,\ y=3$$; б) $$x=\frac12,\ y=-\frac32$$; в) $$x=\frac43,\ y=0$$; г) $$x=0,\ y=1,\ z=2$$.
