Упр.5.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) с центром в точке (-5; 2), касающейся оси у;
б) с центром в точке (12; -5), проходящей через начало координат;
в) с центром в точке (-4; -6), касающейся оси х;
г) с центром в точке (2; 1), проходящей через точку (-4; -7).
Найдите решения уравнения:
а) (х + 2)2 + (у — 3)2 = 0;
б) корень (2х — 1) + |2у+ 3| = 0;
в) (Зх — 4)2 + у2 = 0;
г) корень x + корень (y -1) + |z — 2| = 0.

Уравнение окружности с центром в точке $$\left(x_0; y_0\right)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид:

$$\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=R^2.$$

1. а) Центр $$(-5; 2)$$, окружность касается оси $$y$$, значит радиус равен расстоянию от центра до оси $$y$$:

   $$R=|-5|=5.$$

   Тогда

   $$\left(x+5\right)^2+\left(y-2\right)^2=25.$$

2. б) Центр $$\left(12; -5\right)$$, окружность проходит через начало координат, значит

   $$R=\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

   Следовательно,

   $$\left(x-12\right)^2+\left(y+5\right)^2=169.$$

3. в) Центр $$(-4; -6)$$, окружность касается оси $$x$$, значит радиус равен расстоянию от центра до оси $$x$$:

   $$R=|-6|=6.$$

   Тогда

   $$\left(x+4\right)^2+\left(y+6\right)^2=36.$$

4. г) Центр $$\left(2; 1\right)$$, окружность проходит через точку $$(-4; -7)$$, значит

   $$R=\sqrt{(-4-2)^2+(-7-1)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

   Следовательно,

   $$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=100.$$

Теперь решим уравнения.

2. а)

   $$\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=0.$$

   Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

   $$ \left(x+2\right)^2=0 \\ \left(y-3\right)^2=0 $$

   Отсюда

   $$x=-2,\quad y=3.$$

3. б)

   $$\sqrt{2x-1}+|2y+3|=0.$$

   Оба слагаемых неотрицательны, значит сумма равна нулю только при

   $$ \sqrt{2x-1}=0 \\ |2y+3|=0 $$

   Тогда

   $$ 2x-1=0 \\ 2y+3=0 $$

   Отсюда

   $$x=\frac12,\quad y=-\frac32.$$

4. в)

   $$\left(3x-4\right)^2+y^2=0.$$

   Сумма неотрицательных выражений равна нулю только при

   $$ \left(3x-4\right)^2=0 \\ y^2=0 $$

   Отсюда

   $$ 3x-4=0 \\ y=0 $$

   Следовательно,

   $$x=\frac43,\quad y=0.$$

5. г)

   $$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+|z-2|=0.$$

   Каждое слагаемое неотрицательно, значит

   $$ \sqrt{x}=0 \\ \sqrt{y-1}=0 \\ |z-2|=0 $$

   Тогда

   $$ x=0 \\ y-1=0 \\ z-2=0 $$

   Отсюда

   $$x=0,\quad y=1,\quad z=2.$$

Ответ

1) а) $$\left(x+5\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$; б) $$\left(x-12\right)^2+\left(y+5\right)^2=169$$; в) $$\left(x+4\right)^2+\left(y+6\right)^2=36$$; г) $$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=100$$.

2) а) $$x=-2,\ y=3$$; б) $$x=\frac12,\ y=-\frac32$$; в) $$x=\frac43,\ y=0$$; г) $$x=0,\ y=1,\ z=2$$.