Упр.4.40 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) не имеет решений;
б) выполняется при любых значениях х?

Рассмотрим квадратное неравенство

$$ (p-2)x^2-(p-4)x+(3p-2)>0. $$

а) Неравенство не имеет решений.

Чтобы квадратный трехчлен был всегда неположительным, нужно, чтобы:

$$ p-2<0, \qquad D\le 0, $$

где

$$ D=(p-4)^2-4(p-2)(3p-2). $$

Вычислим дискриминант:

$$ D=p^2-8p+16-12p^2+32p-16=-11p^2+24p. $$

Тогда

$$ p<2, \qquad -11p^2+24p\le 0, $$
$$ p<2, \qquad p(24-11p)\le 0. $$

Из неравенства $$p(24-11p)\le 0$$ получаем

$$ p\le 0 \quad \text{или} \quad p\ge \frac{24}{11}. $$

С учетом условия $$p<2$$ остается

$$ p\le 0. $$

Проверим случай, когда старший коэффициент равен нулю:

$$ p-2=0 \Rightarrow p=2, $$

но тогда условие $$p-2<0$$ не выполняется, значит решений нет.

б) Неравенство выполняется при любых значениях $$x$$.

Для этого квадратный трехчлен должен быть всегда положительным, то есть

$$ p-2>0, \qquad D<0. $$

Имеем

$$ p>2, \qquad -11p^2+24p<0, $$
$$ p>2, \qquad p(24-11p)<0. $$

Из неравенства $$p(24-11p)<0$$ получаем

$$ p<0 \quad \text{или} \quad p>\frac{24}{11}. $$

С учетом условия $$p>2$$ остается

$$ p>\frac{24}{11}. $$

При $$p=2$$ получаем линейное выражение, но оно не может быть положительным при всех $$x$$, поэтому этот случай не подходит.

Ответ

а) $$p\le 0$$; б) $$p>\frac{24}{11}$$.