Упр.4.29 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x^2-16}+\sqrt{7x-x^2}$$; б) $$\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{9-x^2}$$; в) $$\sqrt{x^2-5x+6}+\sqrt{x^2-1}$$; г) $$\sqrt{x^2+8x+7}+\sqrt{25-x^2}$$.

1. $$\sqrt{x^2-16}+\sqrt{7x-x^2}$$

   Чтобы выражение было определено, нужно:

   $$\begin{cases} x^2-16 \ge 0,\\ 7x-x^2 \ge 0. \end{cases}$$

   Решаем неравенства:

   $$x^2-16=(x-4)(x+4)\ge 0 \Rightarrow x\le -4 \text{ или } x\ge 4,$$

   $$7x-x^2=x(7-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 7.$$

   Пересечение этих промежутков:

   $$[4;7].$$

2. $$\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{9-x^2}$$

   Найдём область определения:

   $$\begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0,\\ 9-x^2 \ge 0. \end{cases}$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0 \Rightarrow x\le 1 \text{ или } x\ge 2,$$

   $$9-x^2=(3-x)(3+x)\ge 0 \Rightarrow -3\le x\le 3.$$

   Пересечение:

   $$[-3;1]\cup[2;3].$$

3. $$\sqrt{x^2-5x+6}+\sqrt{x^2-1}$$

   Требуется:

   $$\begin{cases} x^2-5x+6 \ge 0,\\ x^2-1 \ge 0. \end{cases}$$

   Имеем:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge 0 \Rightarrow x\le 2 \text{ или } x\ge 3,$$

   $$x^2-1=(x-1)(x+1)\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Пересечение множеств решений:

   $$(-\infty;-1]\cup[1;2]\cup[3;+\infty).$$

4. $$\sqrt{x^2+8x+7}+\sqrt{25-x^2}$$

   Найдём область определения:

   $$\begin{cases} x^2+8x+7 \ge 0,\\ 25-x^2 \ge 0. \end{cases}$$

   Разложим первый квадратный трёхчлен:

   $$x^2+8x+7=(x+1)(x+7)\ge 0 \Rightarrow x\le -7 \text{ или } x\ge -1,$$

   $$25-x^2=(5-x)(5+x)\ge 0 \Rightarrow -5\le x\le 5.$$

   Пересечение:

   $$[-1;5].$$

Ответ

а) $$[4;7]$$; б) $$[-3;1]\cup[2;3]$$; в) $$(-\infty;-1]\cup[1;2]\cup[3;+\infty)$$; г) $$[-1;5]$$.