Упр.4.28 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

Подробный ответ

а) Рассмотрим выражение
$$\sqrt{(x-3)(x-5)}+\sqrt{(1-x)(7-x)}.$$
Чтобы оно было определено, нужно:
$$ \begin{cases} (x-3)(x-5)\ge 0,\\ (1-x)(7-x)\ge 0. \end{cases} $$
Первое неравенство даёт $$x\le 3$$ или $$x\ge 5,$$ второе — $$x\le 1$$ или $$x\ge 7.$$
Пересечение множеств:
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 7.$$
б) Для выражения
$$\sqrt{\frac{3x+2}{5-x}}+\sqrt{\frac{4-x}{7-2x}}$$
нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:
$$ \begin{cases} \dfrac{3x+2}{5-x}\ge 0,\\[4pt] \dfrac{4-x}{7-2x}\ge 0. \end{cases} $$
Решаем по отдельности:
$$\dfrac{3x+2}{5-x}\ge 0 \;\Rightarrow\; -\dfrac{2}{3}\le x<5,$$
$$\dfrac{4-x}{7-2x}\ge 0 \;\Rightarrow\; 4\le x<\dfrac{7}{2} \;\text{или}\; x\ge 4.$$
С учётом пересечения получаем:
$$-\dfrac{2}{3}\le x<\dfrac{7}{2} \quad \text{и} \quad 4\le x<5,$$
то есть
$$x\in\left[-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{2}\right)\cup[4;5).$$
в) Рассмотрим выражение
$$\sqrt{(x-2)(x-3)}+\sqrt{(5-x)(6-x)}.$$
Требуется:
$$ \begin{cases} (x-2)(x-3)\ge 0,\\ (5-x)(6-x)\ge 0. \end{cases} $$
Отсюда:
$$x\le 2 \;\text{или}\; x\ge 3,$$
$$x\le 5 \;\text{или}\; x\ge 6.$$
Пересечение даёт:
$$x\le 2,\quad 3\le x\le 5,\quad x\ge 6.$$
г) Для выражения
$$\sqrt{\frac{4x+1}{x+2}}+\sqrt{\frac{2x+1}{x-7}}$$
нужно:
$$ \begin{cases} \dfrac{4x+1}{x+2}\ge 0,\\[4pt] \dfrac{2x+1}{x-7}\ge 0. \end{cases} $$
Решаем неравенства:
$$\dfrac{4x+1}{x+2}\ge 0 \;\Rightarrow\; x<-2 \;\text{или}\; x\ge -\dfrac14,$$
$$\dfrac{2x+1}{x-7}\ge 0 \;\Rightarrow\; x<-\dfrac12 \;\text{или}\; x>7.$$
Пересечение множеств:
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>7.$$