Упр.4.27 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} \dfrac{2x^2+18x-4}{x^2+9x+8}>2,\\ x+\dfrac{8}{x}\le 6 \end{cases}$$
Преобразуем систему:
$$\begin{cases} \dfrac{2x^2+18x-4-2x^2-18x-16}{x^2+9x+8}>0,\\ \dfrac{x^2+8-6x}{x}\le 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} \dfrac{-20}{x^2+9x+8}>0,\\ \dfrac{x^2-6x+8}{x}\le 0 \end{cases}$$
Так как $$-20<0,$$ то первая дробь положительна, когда $$x^2+9x+8<0,$$ то есть $$\begin{cases} (x+8)(x+1)<0,\\ (x-2)(x-4)\le 0,\\ x\ne 0 \end{cases}$$
Отсюда:
$$-8<x<-1,$$
а также
$$x\in(-\infty,0)\cup[2,4].$$
Пересечение даёт
$$-8<x<-1.$$
б)
$$\begin{cases} x+\dfrac{3}{x}\le -4,\\ \dfrac{x-4}{x-3}>\dfrac{x-3}{x-4} \end{cases}$$
Преобразуем:
$$\begin{cases} \dfrac{x^2+4x+3}{x}\le 0,\\ \dfrac{(x-4)^2-(x-3)^2}{(x-3)(x-4)}>0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} \dfrac{(x+1)(x+3)}{x}\le 0,\\ \dfrac{-2x+7}{(x-3)(x-4)}>0 \end{cases}$$
Решая систему неравенств, получаем:
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad -1\le x<0.$$
в)
$$\begin{cases} \dfrac{x^3-x^2+x-1}{2x+3}\le 0,\\ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+3}>\dfrac{3}{x+2} \end{cases}$$
Разложим числитель первой дроби:
$$x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1).$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ то
$$\dfrac{x-1}{2x+3}\le 0.$$
Второе неравенство приводим к общему знаменателю:
$$\dfrac{(x+2)(x+3)+2(x+1)(x+2)-3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)}>0,$$
$$\dfrac{-x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)}>0,$$
то есть
$$\dfrac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)}<0.$$
Пересечение решений даёт:
$$-1<x<1.$$
г)
$$\begin{cases} \dfrac{x^3+x^2+x}{9x^2-25}\ge 0,\\ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x-1}\le \dfrac{1-2x}{x^2-1} \end{cases}$$
Преобразуем:
$$\dfrac{x(x^2+x+1)}{(3x-5)(3x+5)}\ge 0,$$
а так как $$x^2+x+1>0,$$ получаем
$$\dfrac{x}{(3x-5)(3x+5)}\ge 0.$$
Второе неравенство:
$$\dfrac{(x-1)+2(x+1)-(1-2x)}{x^2-1}\le 0,$$
$$\dfrac{5x}{(x-1)(x+1)}\le 0.$$
Решая систему, получаем:
$$-1\dfrac{2}{3}<x<-1 \quad \text{или} \quad x=0.$$