Итоговое повторение Упр.376 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Найдите первый член убывающей арифметической прогрессии (аn), если а7 + а2 = 5, а5 * а4 = -36. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 itog/376 95

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.

Тогда

$$ a_2=a_1+d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_7=a_1+6d. $$

По условию:

$$ a_7+a_2=5,\qquad a_5\cdot a_4=-36. $$

Составим систему:

$$ \begin{cases} (a_1+6d)+(a_1+d)=5,\\ (a_1+4d)(a_1+3d)=-36. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ 2a_1+7d=5,\qquad d=\frac{5-2a_1}{7}. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ (a_1+4d)(a_1+3d)=-36. $$

$$ a_1^2+7a_1d+12d^2=-36. $$

Подставим $$d=\frac{5-2a_1}{7}$$:

$$ a_1^2+7a_1\cdot \frac{5-2a_1}{7}+12\left(\frac{5-2a_1}{7}\right)^2=-36. $$

Умножим на $$49$$:

$$ 49a_1^2+49a_1(5-2a_1)+12(5-2a_1)^2=-1764. $$

Раскроем скобки:

$$ 49a_1^2+245a_1-98a_1^2+12(25-20a_1+4a_1^2)=-1764. $$

$$ 49a_1^2+245a_1-98a_1^2+300-240a_1+48a_1^2=-1764. $$

$$ -a_1^2+5a_1+300=-1764. $$

$$ a_1^2-5a_1-2064=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot (-2064)=25+8256=8281=91^2. $$

$$ a_1=\frac{5\pm 91}{2}. $$

Получаем:

$$ a_1=48 \quad \text{или} \quad a_1=-43. $$

Так как прогрессия убывающая и $$a_5\cdot a_4=-36<0$$, числа $$a_4$$ и $$a_5$$ разных знаков, значит подходит положительное значение первого члена.

Ответ

$$48$$