Упр.3.6 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 0,7 принадлежит {х | х2 — 1 < 0}; б) -7 принадлежит {х| х2 + 16х <= -64}; в) - 0,999 принадлежит {x (5-x)/(1+x) >1};
г) 1,001 принадлежит {x|(x2-6x+5)/(4-x)<=0}?

Подробный ответ

$$x^2-1<0$$
$$ (x-1)(x+1)<0, \text{ тогда } -1<x<1.$$
Число $$0{,}7$$ принадлежит этому промежутку, значит
$$0{,}7 \in \{x \mid x^2-1<0\}.$$
Верно.
$$x^2+16x\le -64$$
$$x^2+16x+64\le 0$$
$$ (x+8)^2\le 0.$$
Квадрат числа неотрицателен, значит равенство возможно только при
$$x+8=0,\quad x=-8.$$
Число $$-7$$ не подходит, следовательно
$$-7 \notin \{x \mid x^2+16x\le -64\}.$$
Неверно.
$$\frac{5-x}{1+x}>1$$
$$\frac{5-x}{1+x}-1>0$$
$$\frac{5-x-1-x}{1+x}>0$$
$$\frac{4-2x}{1+x}>0$$
$$\frac{-2(x-2)}{1+x}>0$$
$$\frac{x-2}{1+x}<0.$$
Отсюда $$-1<x<2.$$
Число $$-0{,}999$$ принадлежит этому промежутку, значит
$$-0{,}999 \in \left\{x \mid \frac{5-x}{1+x}>1\right\}.$$
Верно.
$$\frac{x^2-6x+5}{4-x}\le 0$$
$$\frac{(x-1)(x-5)}{4-x}\le 0,$$
при этом $$x\ne 4.$$
Критические точки: $$x=1,\; x=4,\; x=5.$$
Решение неравенства:
$$1\le x<4 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Число $$1{,}001$$ принадлежит промежутку $$[1,4),$$ значит
$$1{,}001 \in \left\{x \mid \frac{x^2-6x+5}{4-x}\le 0\right\}.$$
Верно.