Упр.3.24 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9-го класса читал книги А, Б, С. Результаты опроса выглядят так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В — 22 ученика, книгу С — 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С — 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не читали ни одной из указанных книг? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 3-24 95

Обозначим через $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ множества учеников, прочитавших книги $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ соответственно. Тогда

$$|A|=25,\quad |B|=22,\quad |C|=22,$$

$$|A\cup B|=33,\quad |A\cup C|=32,\quad |B\cup C|=31,\quad |A\cap B\cap C|=10.$$

Найдём попарные пересечения:

$$ |A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=25+22-33=14, $$

$$ |A\cap C|=|A|+|C|-|A\cup C|=25+22-32=15, $$

$$ |B\cap C|=|B|+|C|-|B\cup C|=22+22-31=13. $$

Тогда число учеников, прочитавших только одну книгу:

$$ |A\setminus(B\cup C)|=|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|=25-14-15+10=6, $$

$$ |B\setminus(A\cup C)|=|B|-|A\cap B|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|=22-14-13+10=5, $$

$$ |C\setminus(A\cup B)|=|C|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|=22-15-13+10=4. $$

Итак, только одну книгу прочитали:

$$6+5+4=15.$$

Ровно две книги прочитали:

$$ |A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|-3|A\cap B\cap C| =14+15+13-30=12. $$

Не читали ни одной книги:

$$ 40-15-12-10=3. $$

Ответ

а) $$15$$; б) $$12$$; в) $$3$$.