Упр.3.24 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- На уроке литературы учитель решил узнать, кто из $$40$$ учеников $$9$$-го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядят так: книгу А прочитали $$25$$ учеников, книгу В — $$22$$ ученика, книгу С — $$22$$ ученика; одну из книг А или В прочитали $$33$$ ученика, одну из книг А или С прочитали $$32$$ ученика, одну из книг В или С — $$31$$ ученик. Все три книги прочитали $$10$$ учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не читали ни одной из указанных книг?
Обозначим через $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ множества учеников, прочитавших книги $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ соответственно. Тогда
$$|A|=25,\quad |B|=22,\quad |C|=22,$$
$$|A\cup B|=33,\quad |A\cup C|=32,\quad |B\cup C|=31,\quad |A\cap B\cap C|=10.$$
Найдём попарные пересечения:
$$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=25+22-33=14,$$
$$|A\cap C|=|A|+|C|-|A\cup C|=25+22-32=15,$$
$$|B\cap C|=|B|+|C|-|B\cup C|=22+22-31=13.$$
Тогда число учеников, прочитавших только одну книгу:
$$|A\setminus(B\cup C)|=|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|=25-14-15+10=6,$$
$$|B\setminus(A\cup C)|=|B|-|A\cap B|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|=22-14-13+10=5,$$
$$|C\setminus(A\cup B)|=|C|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|=22-15-13+10=4.$$
Итак, только одну книгу прочитали:
$$6+5+4=15.$$
Ровно две книги прочитали:
$$|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|-3|A\cap B\cap C| =14+15+13-30=12.$$
Не читали ни одной книги:
$$40-15-12-10=3.$$
Ответ
а) $$15$$; б) $$12$$; в) $$3$$.
