Итоговое повторение Упр.297 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

система
(x-5)/(x+3) >0,
2x+6<11. б) Укажите наименьшее целое число, которое является решением системы неравенств система (-6-x)/(3x-12)<=0, 9x+6>4.

а) Решим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{x-5}{x+3} > 0,\\ 2x+6 < 11. \end{cases} $$

Для дроби $$\dfrac{x-5}{x+3} > 0$$ числитель и знаменатель должны быть одного знака:

$$ x-5 > 0,\ x+3 > 0 \quad \text{или} \quad x-5 < 0,\ x+3 < 0. $$

Отсюда:

$$ x > 5 \quad \text{или} \quad x < -3. $$

Второе неравенство:

$$ 2x+6 < 11 $$
$$ 2x < 5 $$
$$ x < \dfrac{5}{2}. $$

Пересечение решений:

$$ (x < -3 \ \text{или}\ x > 5) \cap \left(x < \dfrac{5}{2}\right) = x < -3. $$

Наибольшее целое число из этого промежутка:

$$ x=-4. $$

б) Решим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{-6-x}{3x-12} \le 0,\\ 9x+6 > 4. \end{cases} $$

Преобразуем первую дробь:

$$ \dfrac{-6-x}{3x-12}=\dfrac{-(x+6)}{3(x-4)}. $$

Критические точки: $$x=-6$$ и $$x=4$$. Рассмотрим знаки дроби. Получаем:

$$ \dfrac{-6-x}{3x-12} \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \le -6 \ \text{или}\ x > 4, $$

при этом $$x \ne 4$$.

Второе неравенство:

$$ 9x+6 > 4 $$
$$ 9x > -2 $$
$$ x > -\dfrac{2}{9}. $$

Пересечение решений:

$$ (x \le -6 \ \text{или}\ x > 4) \cap \left(x > -\dfrac{2}{9}\right)=x>4. $$

Наименьшее целое число из этого промежутка:

$$ x=5. $$

Ответ

а) $$-4$$; б) $$5$$.