Итоговое повторение Упр.237 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

система
x2+y2=9,
|x|+y=a
имеет одно решение?

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ |x|+y=a. \end{cases} $$

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=3$$.

Второе уравнение можно записать так:

$$ y=a-|x|. $$

Это график функции с вершиной в точке $$\left(0;a\right)$$, ветви направлены вниз.

Чтобы система имела ровно одно решение, график $$y=a-|x|$$ должен касаться окружности $$x^2+y^2=9$$ в одной точке. Такое возможно, когда вершина графика модуля лежит на окружности.

Подставим координаты вершины $$\left(0;a\right)$$ в уравнение окружности:

$$ 0^2+a^2=9, $$

откуда

$$ a^2=9,\qquad a=\pm 3. $$

Но при $$a=3$$ вершина графика находится в верхней точке окружности, и касание происходит в одной точке. При $$a=-3$$ график пересекает окружность в двух точках.

Следовательно, система имеет одно решение при

$$a=3.$$

Ответ

$$3$$