Итоговое повторение Упр.234 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите целое значение $$a$$, при котором $$ax+by=0$$, если пара чисел $$(x; y)$$ является решением системы уравнений:
   $$\begin{cases} x^2+y^2=41,\\ x+2y=3. \end{cases}$$

Из уравнения $$x+2y=3$$ выразим $$x$$:

$$x=3-2y.$$

Подставим в первое уравнение системы:

$$(3-2y)^2+y^2=41$$

$$9-12y+4y^2+y^2=41$$

$$5y^2-12y-32=0$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-12)^2-4\cdot 5\cdot(-32)=144+640=784=28^2$$

$$y_1=\frac{12-28}{10}=-\frac{8}{5}, \qquad y_2=\frac{12+28}{10}=4$$

Тогда соответствующие значения $$x$$:

$$x_1=3-2\left(-\frac{8}{5}\right)=\frac{31}{5}, \qquad x_2=3-2\cdot 4=-5$$

Теперь найдём целое значение $$a$$ из уравнения $$ax+5y=0$$:

$$a=-\frac{5y}{x}$$

Для пары $$\left(\frac{31}{5},-\frac{8}{5}\right)$$ получаем:

$$a=-\frac{5\cdot\left(-\frac{8}{5}\right)}{\frac{31}{5}}=\frac{40}{31}$$

Это не целое число.

Для пары $$(-5,4)$$ получаем:

$$a=-\frac{5\cdot 4}{-5}=4$$

Это целое число.

Ответ

$$4$$