Итоговое повторение Упр.233 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Определите, сколько решений имеет система уравнений:
   
   а) $$\begin{cases}\dfrac{8}{x-y}-\dfrac{1}{x+y}=5,\\[4pt]\dfrac{15}{x-y}-\dfrac{6}{x+y}=-3;\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}\dfrac{9}{2x+y}-\dfrac{4}{x-y}=2,\\[4pt]\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{x-y}=26.\end{cases}$$

1. а) Обозначим:

   $$u=\frac{1}{x-y}, \quad v=\frac{1}{x+y}.$$

   Тогда система примет вид:

   $$\begin{cases} 8u-v=5,\\ 15u-6v=-3. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$v=8u-5.$$

   Подставим во второе:

   $$15u-6(8u-5)=-3$$

   $$15u-48u+30=-3$$

   $$-33u=-33,\quad u=1.$$

   Тогда

   $$v=8\cdot 1-5=3.$$

   Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

   $$\frac{1}{x-y}=1,\quad \frac{1}{x+y}=3.$$

   Отсюда

   $$x-y=1,\quad x+y=\frac13.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} x-y=1,\\ x+y=\frac13. \end{cases}$$

   $$2x=\frac43,\quad x=\frac23,$$

   $$y=x-1=\frac23-1=-\frac13.$$

   Система имеет одно решение.

2. б) Обозначим:

   $$u=\frac{1}{2x+y}, \quad v=\frac{1}{x-y}.$$

   Тогда система примет вид:

   $$\begin{cases} 9u-4v=2,\\ 3u+5v=26. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$3u=26-5v.$$

   Подставим в первое:

   $$9\cdot \frac{26-5v}{3}-4v=2$$

   $$3(26-5v)-4v=2$$

   $$78-15v-4v=2$$

   $$-19v=-76,\quad v=4.$$

   Тогда

   $$3u+5\cdot 4=26,\quad 3u=6,\quad u=2.$$

   Возвращаемся к $$x$$ и $$y$$:

   $$\frac{1}{x-y}=4,\quad \frac{1}{2x+y}=2.$$

   Значит,

   $$x-y=\frac14,\quad 2x+y=\frac12.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} x-y=\frac14,\\ 2x+y=\frac12. \end{cases}$$

   Складываем уравнения:

   $$3x=\frac34,\quad x=\frac14.$$

   Тогда

   $$y=x-\frac14=0.$$

   Система имеет одно решение.

Ответ

а) одно решение: $$\left(\frac23;-\frac13\right)$$; б) одно решение: $$(\frac14;0)$$.