Итоговое повторение Упр.233 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 8/x-y — 1/x+y = 5
15/x-y — 6/x+y = -3
б) 9/2x+y — 4/x-y = 2
3/2x+y + 5/x-y = 26

Подробный ответ

а) Обозначим:
$$u=\frac{1}{x-y}, \quad v=\frac{1}{x+y}.$$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 8u-v=5,\\ 15u-6v=-3. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$v=8u-5.$$
Подставим во второе:
$$ 15u-6(8u-5)=-3 $$
$$ 15u-48u+30=-3 $$
$$ -33u=-33,\quad u=1. $$
Тогда
$$ v=8\cdot 1-5=3. $$
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$$ \frac{1}{x-y}=1,\quad \frac{1}{x+y}=3. $$
Отсюда
$$ x-y=1,\quad x+y=\frac13. $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x-y=1,\\ x+y=\frac13. \end{cases} $$
$$ 2x=\frac43,\quad x=\frac23, $$
$$ y=x-1=\frac23-1=-\frac13. $$
Система имеет одно решение.
б) Обозначим:
$$u=\frac{1}{2x+y}, \quad v=\frac{1}{x-y}.$$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 9u-4v=2,\\ 3u+5v=26. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ 3u=26-5v. $$
Подставим в первое:
$$ 9\cdot \frac{26-5v}{3}-4v=2 $$
$$ 3(26-5v)-4v=2 $$
$$ 78-15v-4v=2 $$
$$ -19v=-76,\quad v=4. $$
Тогда
$$ 3u+5\cdot 4=26,\quad 3u=6,\quad u=2. $$
Возвращаемся к $x$ и $y$:
$$ \frac{1}{x-y}=4,\quad \frac{1}{2x+y}=2. $$
Значит,
$$ x-y=\frac14,\quad 2x+y=\frac12. $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x-y=\frac14,\\ 2x+y=\frac12. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 3x=\frac34,\quad x=\frac14. $$
Тогда
$$ y=x-\frac14=0. $$
Система имеет одно решение.