Итоговое повторение Упр.231 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) $$\begin{cases} x^2y^2-6xy=-5, \\ 3x+3y=10; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 2x^2y^2-5xy=-2, \\ x-y=-1. \end{cases}$$

а) Обозначим $$t=xy.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} t^2-6t+5=0,\\ 3x+3y=10. \end{cases}$$

Решим квадратное уравнение:

$$t^2-6t+5=0, \quad D=36-20=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}, \quad t_1=1,\; t_2=5.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$xy=1,$$ $$x+y=\frac{10}{3}.$$ Тогда $$x=\frac{1}{y}$$ и

$$\frac{1}{y}+y=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$3y$$:

$$3+3y^2=10y,$$

$$3y^2-10y+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}, \quad y_1=\frac{1}{3},\; y_2=3.$$

Тогда соответствующие значения $$x$$:

$$x=3 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{3}.$$

Получаем две пары решений: $$\left(3;\frac{1}{3}\right)$$ и $$\left(\frac{1}{3};3\right).$$

2) $$xy=5,$$ $$x+y=\frac{10}{3}.$$ Тогда $$x=\frac{5}{y}$$ и

$$\frac{5}{y}+y=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$3y$$:

$$15+3y^2=10y,$$

$$15y^2-10y+3=0.$$

$$D=100-180=-80<0.$$

Реальных решений нет.

Значит, система в пункте а) имеет 2 решения.

б) Обозначим $$t=xy.$$ Тогда

$$\begin{cases} 2t^2-5t+2=0,\\ x-y=-1. \end{cases}$$

Решим квадратное уравнение:

$$2t^2-5t+2=0, \quad D=25-16=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}, \quad t_1=\frac{1}{2},\; t_2=2.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$xy=\frac{1}{2},$$ $$x-y=-1,$$ то есть $$x=y-1.$$ Подставим:

$$(y-1)y=\frac{1}{2},$$

$$2y^2-2y-1=0.$$

$$D=4+8=12,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$x=y-1=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}.$$

Получаем две пары решений:

$$\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right), \quad \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right).$$

2) $$xy=2,$$ $$x-y=-1,$$ то есть $$x=y-1.$$ Подставим:

$$(y-1)y=2,$$

$$y^2-y-2=0.$$

$$(y-2)(y+1)=0,$$

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=-1.$$

Тогда

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

Получаем две пары решений: $$(1;2)$$ и $$(-2;-1).$$

Значит, система в пункте б) имеет 4 решения.

Ответ

а) 2 решения: $$\left(3;\frac{1}{3}\right), \left(\frac{1}{3};3\right).$$

б) 4 решения: $$\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right), (1;2), (-2;-1).$$