Итоговое повторение Упр.230 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Определите, сколько решений имеет система уравнений:

1. а) $$\begin{cases}x^2+y^2=16,\\xy+4=0.\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x^2+y^2=25,\\x^2-y=-5.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=16,\\ xy+4=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем

$$xy=-4.$$

Тогда

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=16+2\cdot(-4)=8,$$

значит,

$$x+y=\pm 2\sqrt{2}.$$

Также

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=16-2\cdot(-4)=24,$$

поэтому

$$x-y=\pm 2\sqrt{6}.$$

Для каждой пары значений суммы и разности получаем по одному решению, всего 4 решения.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x^2-y=-5. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=x^2+5.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(x^2+5)^2=25.$$

Обозначим $$t=x^2$$, тогда

$$t+(t+5)^2=25,$$

$$t+t^2+10t+25=25,$$

$$t^2+11t=0,$$

$$t(t+11)=0.$$

Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем только

$$t=0.$$

Тогда

$$x=0,\quad y=5.$$

Следовательно, система имеет 1 решение.

Ответ

а) 4; б) 1.