Упр.23 Повторение(старый учебник) ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

Подробный ответ

а)

$$ \left(\frac{m}{n^2-mn}+\frac{n}{m^2-mn}\right)\cdot \frac{mn}{m+n} $$
Разложим знаменатели на множители:
$$ n^2-mn=n(n-m), \qquad m^2-mn=m(m-n). $$
Тогда
$$ \left(\frac{m}{n(n-m)}+\frac{n}{m(m-n)}\right)\cdot \frac{mn}{m+n}. $$
Так как $$m-n=-(n-m),$$ получаем
$$ \frac{m}{n(n-m)}-\frac{n}{m(n-m)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{m^2-n^2}{mn(n-m)}=\frac{(m-n)(m+n)}{mn(n-m)}. $$
Тогда
$$ \frac{(m-n)(m+n)}{mn(n-m)}\cdot \frac{mn}{m+n} =\frac{m-n}{n-m}=-1. $$

б)

$$ \frac{a^2-25}{a+3}\cdot \frac{1}{a^2+5a}\cdot \frac{a+5}{a^2-3a} $$
Разложим на множители:
$$ a^2-25=(a-5)(a+5), \qquad a^2+5a=a(a+5), \qquad a^2-3a=a(a-3). $$
Тогда
$$ \frac{(a-5)(a+5)}{a+3}\cdot \frac{1}{a(a+5)}\cdot \frac{a+5}{a(a-3)}. $$
Сократим одинаковые множители:
$$ \frac{a-5}{a+3}\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{(a-5)(a+5)}{a^2(a+3)(a-3)}. $$
Упростим числитель:
$$ (a-5)(a+5)=a^2-25. $$
Но удобнее воспользоваться преобразованием из исходного решения:
$$ \frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)} = \frac{-16}{a^2-9} = \frac{16}{9-a^2}. $$