Итоговое повторение Упр.228 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите значение выражения $$x_1y_1+x_2y_2$$, где пары чисел $$(x_1;y_1)$$, $$(x_2;y_2)$$ являются решениями системы уравнений
   $$\begin{cases} x^2+xy=6,\\ 7x-xy=2. \end{cases}$$
   б) Найдите значение выражения $$x_1y_1+x_2y_2$$, где пары чисел $$(x_1;y_1)$$, $$(x_2;y_2)$$ являются решениями системы уравнений
   $$\begin{cases} xy-y^2=7,\\ xy+5y=13. \end{cases}$$

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x^2+xy=6,\\ 7x-xy=2. \end{cases}$$

   Сложим уравнения системы:

   $$x^2+xy+7x-xy=6+2,$$

   $$x^2+7x-8=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}.$$

   Тогда

   $$x_1=-8,\qquad x_2=1.$$

   Из уравнения $$7x-xy=2$$ найдём $$y$$:

   $$xy=7x-2,\qquad y=7-\frac{2}{x}.$$

   При $$x_1=-8$$:

   $$y_1=7-\frac{2}{-8}=7+\frac14=\frac{29}{4}.$$

   При $$x_2=1$$:

   $$y_2=7-\frac{2}{1}=5.$$

   Теперь вычислим выражение:

   $$x_1y_1+x_2y_2=-8\cdot \frac{29}{4}+1\cdot 5=-58+5=-53.$$

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} xy-y^2=7,\\ xy+5y=13. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$(xy+5y)-(xy-y^2)=13-7,$$

   $$y^2+5y-6=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25+24=49,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}.$$

   Отсюда

   $$y_1=-6,\qquad y_2=1.$$

   Из уравнения $$xy+5y=13$$ найдём $$x$$:

   $$xy=13-5y,\qquad x=\frac{13-5y}{y}=\frac{13}{y}-5.$$

   При $$y_1=-6$$:

   $$x_1=\frac{13}{-6}-5=-\frac{13}{6}-\frac{30}{6}=-\frac{43}{6}.$$

   При $$y_2=1$$:

   $$x_2=\frac{13}{1}-5=8.$$

   Теперь вычислим выражение:

   $$x_1y_1+x_2y_2=-\frac{43}{6}\cdot(-6)+8\cdot 1=43+8=51.$$

Ответ

а) $$-53$$; б) $$51$$.