Итоговое повторение Упр.228 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

система
x^2+xy=6,
7x-xy=2.
б) Найдите значение выражения x1y1+x2y2, где пары чисел (x1;y1), (x2;y2) являются решениями системы уравнений
система
xy-y^2=7,
xy+5y=13.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+xy=6,\\ 7x-xy=2. \end{cases} $$
Сложим уравнения системы:
$$ x^2+xy+7x-xy=6+2, $$
$$ x^2+7x-8=0. $$
Решим квадратное уравнение:
$$ D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}. $$
Тогда
$$ x_1=-8,\qquad x_2=1. $$
Из уравнения $$7x-xy=2$$ найдём $$y$$:
$$ xy=7x-2,\qquad y=7-\frac{2}{x}. $$
При $$x_1=-8$$:
$$ y_1=7-\frac{2}{-8}=7+\frac14=\frac{29}{4}. $$
При $$x_2=1$$:
$$ y_2=7-\frac{2}{1}=5. $$
Теперь вычислим выражение:
$$ x_1y_1+x_2y_2=-8\cdot \frac{29}{4}+1\cdot 5=-58+5=-53. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} xy-y^2=7,\\ xy+5y=13. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ (xy+5y)-(xy-y^2)=13-7, $$
$$ y^2+5y-6=0. $$
Решим уравнение:
$$ D=5^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25+24=49, $$
$$ y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2}. $$
Отсюда
$$ y_1=-6,\qquad y_2=1. $$
Из уравнения $$xy+5y=13$$ найдём $$x$$:
$$ xy=13-5y,\qquad x=\frac{13-5y}{y}=\frac{13}{y}-5. $$
При $$y_1=-6$$:
$$ x_1=\frac{13}{-6}-5=-\frac{13}{6}-\frac{30}{6}=-\frac{43}{6}. $$
При $$y_2=1$$:
$$ x_2=\frac{13}{1}-5=8. $$
Теперь вычислим выражение:
$$ x_1y_1+x_2y_2=-\frac{43}{6}\cdot(-6)+8\cdot 1=43+8=51. $$