Итоговое повторение Упр.216 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\frac{x-5}{x-3}+\frac{4}{x+3}+\frac{24}{x^2-9}=0$$

б) $$\frac{1}{x-2}+\frac{4}{x^2-4}=\frac{x+1}{x+2}$$

а) Приведём дроби к общему знаменателю $$x^2-9$$:

$$\frac{x-5}{x-3}+\frac{4}{x+3}+\frac{24}{x^2-9}=0$$
$$\frac{(x-5)(x+3)+4(x-3)+24}{x^2-9}=0$$
$$\frac{x^2+3x-5x-15+4x-12+24}{x^2-9}=0$$
$$\frac{x^2+2x-3}{x^2-9}=0$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2+2x-3=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$

Проверим ОДЗ:

$$x^2-9\ne 0 \Rightarrow x\ne -3,\; x\ne 3$$

Значение $$x=-3$$ не подходит, остаётся $$x=1$$.

б) Приведём к общему знаменателю $$x^2-4$$:

$$\frac{1}{x-2}+\frac{4}{x^2-4}=\frac{x+1}{x+2}$$
$$\frac{x+2}{x^2-4}+\frac{4}{x^2-4}=\frac{(x+1)(x-2)}{x^2-4}$$
$$\frac{x+6}{x^2-4}=\frac{x^2-x-2}{x^2-4}$$
$$x+6=x^2-x-2$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$(x-4)(x+2)=0$$
$$x=4 \text{ или } x=-2$$

Проверим ОДЗ:

$$x^2-4\ne 0 \Rightarrow x\ne 2,\; x\ne -2$$

Значение $$x=-2$$ не подходит, остаётся $$x=4$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$4$$.