Упр.20.22 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) в треугольнике ACM;
б) в треугольнике АСН;
в) в треугольнике СНМ;
г) внутри окружности, вписанной в треугольник ABC?

Пусть $$S_{ABC}$$ — площадь всего треугольника, а вероятность попадания точки в некоторую часть треугольника равна отношению площадей.

а) Так как $$CM$$ — медиана, то $$AM=\frac{AB}{2}$$. Тогда

$$ P=\frac{S_{ACM}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12 \cdot CH \cdot AM}{\frac12 \cdot CH \cdot AB}=\frac{AM}{AB}=\frac12. $$

б) Найдём гипотенузу:

$$ AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10. $$

Площадь треугольника $$ABC$$:

$$ S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot CB=\frac12 \cdot 6 \cdot 8=24. $$

С другой стороны,

$$ S_{ABC}=\frac12 \cdot CH \cdot AB, $$

откуда

$$ CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}. $$

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$ AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-\left(\frac{24}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{900-576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}. $$

Тогда

$$ P=\frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12 \cdot CH \cdot AH}{\frac12 \cdot CH \cdot AB}=\frac{AH}{AB} =\frac{\frac{18}{5}}{10}=\frac{9}{25}. $$

в) Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$ AM=\frac{AB}{2}=5. $$

Тогда

$$ HM=AM-AH=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}. $$

Следовательно,

$$ P=\frac{S_{CHM}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12 \cdot CH \cdot HM}{\frac12 \cdot CH \cdot AB}=\frac{HM}{AB} =\frac{\frac{7}{5}}{10}=\frac{7}{50}. $$

г) Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

$$ r=\frac{S_{ABC}}{p}, $$

где $$p$$ — полупериметр. Имеем

$$ p=\frac{6+8+10}{2}=12, $$

поэтому

$$ r=\frac{24}{12}=2. $$

Площадь вписанной окружности:

$$ S_{\text{окр}}=\pi r^2=\pi \cdot 2^2=4\pi. $$

Тогда вероятность равна

$$ P=\frac{S_{\text{окр}}}{S_{ABC}}=\frac{4\pi}{24}=\frac{\pi}{6}. $$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac{9}{25}$$; в) $$\frac{7}{50}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.