Упр.20.22 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катет $$AC$$ равен $$6$$, а катет $$BC$$ равен $$8$$. Из вершины $$C$$ провели высоту $$CH$$ и медиану $$CM$$. В треугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется: а) в треугольнике $$ACM$$; б) в треугольнике $$ACH$$; в) в треугольнике $$CHM$$; г) внутри окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$?
Пусть $$S_{ABC}$$ — площадь всего треугольника, а вероятность попадания точки в некоторую часть треугольника равна отношению площадей.
а) Так как $$CM$$ — медиана, то $$AM=\frac{AB}{2}$$. Тогда
$$P=\frac{S_{ACM}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12 \cdot CH \cdot AM}{\frac12 \cdot CH \cdot AB}=\frac{AM}{AB}=\frac12.$$
б) Найдём гипотенузу:
$$AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.$$
Площадь треугольника $$ABC$$:
$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot CB=\frac12 \cdot 6 \cdot 8=24.$$
С другой стороны,
$$S_{ABC}=\frac12 \cdot CH \cdot AB,$$
откуда
$$CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:
$$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-\left(\frac{24}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{900-576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}.$$
Тогда
$$P=\frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12 \cdot CH \cdot AH}{\frac12 \cdot CH \cdot AB}=\frac{AH}{AB} =\frac{\frac{18}{5}}{10}=\frac{9}{25}.$$
в) Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то
$$AM=\frac{AB}{2}=5.$$
Тогда
$$HM=AM-AH=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}.$$
Следовательно,
$$P=\frac{S_{CHM}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12 \cdot CH \cdot HM}{\frac12 \cdot CH \cdot AB}=\frac{HM}{AB} =\frac{\frac{7}{5}}{10}=\frac{7}{50}.$$
г) Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r=\frac{S_{ABC}}{p},$$
где $$p$$ — полупериметр. Имеем
$$p=\frac{6+8+10}{2}=12,$$
поэтому
$$r=\frac{24}{12}=2.$$
Площадь вписанной окружности:
$$S_{\text{окр}}=\pi r^2=\pi \cdot 2^2=4\pi.$$
Тогда вероятность равна
$$P=\frac{S_{\text{окр}}}{S_{ABC}}=\frac{4\pi}{24}=\frac{\pi}{6}.$$
Ответ
а) $$\frac12$$; б) $$\frac{9}{25}$$; в) $$\frac{7}{50}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.
