Упр.20.17 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) пройдет через начало координат;
б) пересечет прямую у = х;
в) пройдет через точку (-5; 0,4);
г) не пересечет окружность х2 + у2 = 1.

Рассмотрим гиперболу $$y=\frac{k}{x},$$ где $$k\in\{-5,-2,1,3,4\}.$$ Всего возможных значений коэффициента $$k$$ — 5.

1. Через начало координат гипербола пройти не может, так как при $$x=0$$ выражение $$\frac{k}{x}$$ не определено. Значит, благоприятных случаев нет:

   $$P=\frac{0}{5}=0.$$

2. Гипербола пересечёт прямую $$y=x$$, если

   $$\frac{k}{x}=x \Rightarrow x^2=k.$$

   Это возможно только при $$k\ge 0.$$ Из данного множества подходят $$1,3,4$$ — всего 3 случая:

   $$P=\frac{3}{5}.$$

3. Гипербола пройдёт через точку $$(-5;0{,}4)$$, если

   $$0{,}4=\frac{k}{-5} \Rightarrow k=-5\cdot 0{,}4=-2.$$

   Подходит один случай:

   $$P=\frac{1}{5}.$$

4. Чтобы гипербола не пересекала окружность $$x^2+y^2=1,$$ нужно, чтобы уравнение системы

   $$y=\frac{k}{x}, \qquad x^2+y^2=1$$

   не имело решений. Подставим $$y=\frac{k}{x}$$ в уравнение окружности:

   $$x^2+\frac{k^2}{x^2}=1.$$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$x^4-x^2+k^2=0.$$

   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$t=x^2$$:

   $$t^2-t+k^2=0.$$

   Чтобы пересечения не было, это уравнение не должно иметь действительных корней. Дискриминант:

   $$D=1-4k^2.$$

   Для всех данных значений $$k$$ имеем $$|k|\ge 1,$$ значит $$D<0$$, и пересечений нет. Следовательно, благоприятны все 5 случаев:

   $$P=\frac{5}{5}=1.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac{3}{5}$$; в) $$\frac{1}{5}$$; г) $$1$$.