Упр.2.37 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) два целых числа;
б) четыре целых числа;
в) три целых числа;
г) пять целых чисел.

Подробный ответ

Преобразуем неравенство:

$$x^2(x+2)(p-x)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2(x+2)(x-p)<0.$$

Нули выражения: $$x=0,\; x=-2,\; x=p.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то знак произведения при $$x\ne 0$$ определяется множителем $$ (x+2)(x-p). $$

Рассмотрим расположение корней $$-2$$ и $$p$$.

Если $$p>0,$$ то решение: $$-2<x<p,$$ а точка $$x=0$$ тоже входит в множество решений.
Если $$-2<p<0,$$ то решение: $$-2<x<0,$$ и точка $$x=0$$ входит.
Если $$p<-2,$$ то решение: $$p<x<-2,$$ и точка $$x=0$$ входит.
Если $$p=-2,$$ то получаем $$-2\le x\le -2$$ и $$x=0,$$ то есть множество $$\{-2,0\}.$$

Теперь подберём целые значения $$p$$ по числу целых решений.

а) Два целых числа. Это возможно только при $$p=-2,$$ тогда множество решений $$\{-2,0\}.$$

б) Четыре целых числа.

При $$p=1$$: $$-2<x<1$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-1,0,1\}$$ — три числа, не подходит.
При $$p=-4$$: $$-4<x<-2$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-3,-2,0\}$$ — три числа, не подходит.
При $$p=2$$: $$-2<x<2$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-1,0,1\}$$ — три числа, не подходит.

Четыре целых числа получаются при $$p=1$$? Нет, проверим правильно: при $$p=1$$ множество решений включает $$x=-2,-1,0,1$$, то есть четыре целых числа.

в) Три целых числа.

При $$p=0$$: $$-2<x<0$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-1,0\}$$ — два числа.
При $$p=-1$$: $$-2<x<-1$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-1,0\}$$ — два числа.
При $$p=-3$$: $$-3<x<-2$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-3,-2,0\}$$ — три числа.

г) Пять целых чисел.

При $$p=2$$: $$-2<x<2$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-2,-1,0,1,2\}$$ — пять целых чисел.
При $$p=-5$$: $$-5<x<-2$$ и $$x=0,$$ получаем $$\{-5,-4,-3,-2,0\}$$ — пять целых чисел.