Упр.2.36 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
Найдите значения переменной,при которых:
а) f(x) > 0;
б) f(x) < 0;
в) f(x) >= 0;
г) f(x) <= 0.
Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac{(x+2)^2(x-1)(2x+3)}{x(2x+1)}.$$
Найдём нули числителя и знаменателя:
$$ (x+2)^2(x-1)(2x+3)x(2x+1)=0 $$
Отсюда
$$x=-2,\quad x=1,\quad x=-\frac{3}{2},\quad x=0,\quad x=-\frac{1}{2}.$$
Точки разбиения числовой прямой: $$-\frac{3}{2},\ -2,\ -\frac{1}{2},\ 0,\ 1.$$
Так как множитель $$\,(x+2)^2\,$$ всегда неотрицателен и при переходе через $$x=-2$$ знак не меняется, знак дроби определяется множителями $$\frac{(x-1)(2x+3)}{x(2x+1)}.$$
По знакам на промежутках получаем:
- $$f(x)>0$$ при $$x<-2,\ -2<x<-\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2}<x<0,\ x>1;$$
- $$f(x)<0$$ при $$-\frac{3}{2}<x<-\frac{1}{2},\ 0<x<1;$$
- $$f(x)\ge 0$$ при $$x\le -\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2}<x<0,\ x\ge 1;$$
- $$f(x)\le 0$$ при $$x=-2,\ -\frac{3}{2}\le x<-\frac{1}{2},\ 0<x\le 1.$$
Ответ
а) $$x<-2,\ -2<x<-\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2}<x<0,\ x>1$$
б) $$-\frac{3}{2}<x<-\frac{1}{2},\ 0<x<1$$
в) $$x\le -\frac{3}{2},\ -\frac{1}{2}<x<0,\ x\ge 1$$
г) $$x=-2,\ -\frac{3}{2}\le x<-\frac{1}{2},\ 0<x\le 1$$
