Упр.2.32 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. а)

   $$\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}\ge 0$$

   Разложим на множители:
   $$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}\ge 0,$$
   $$x\ne 2,\; x\ne 3.$$

   Сокращаем на $$x-3$$, учитывая ОДЗ:
   $$\frac{x+3}{x-2}\ge 0,\quad x\ne 3.$$

   Критические точки: $$x=-3,\; x=2,\; x=3.$$
   Тогда
   $$x\le -3,\quad 2<x<3,\quad x>3.$$

2. б)

   $$\frac{2x^2-5x+2}{5x-6x^2}\ge 0$$

   Преобразуем:
   $$\frac{2x^2-5x+2}{-x(6x-5)}\ge 0.$$

   Разложим числитель:
   $$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2).$$

   Тогда
   $$\frac{(2x-1)(x-2)}{-x(6x-5)}\ge 0,$$
   $$x\ne 0,\; x\ne \frac56.$$

   По знакам множителей получаем:
   $$\frac{(x-\frac12)(x-2)}{x(6x-5)}\le 0.$$
   Отсюда
   $$\frac12\le x<2.$$

3. в)

   $$\frac{2-x-x^2}{x^2-4}\ge 0$$

   Преобразуем числитель:
   $$2-x-x^2=-(x^2+x-2)=-(x+2)(x-1).$$

   Тогда
   $$\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\le 0,$$
   $$x\ne -2,\; x\ne 2.$$

   Сокращаем на $$x+2$$:
   $$\frac{x-1}{x-2}\le 0.$$
   Значит,
   $$1\le x<2.$$

4. г)

   $$\frac{3x^2+10x+3}{x^2+8x+15}\ge 0$$

   Разложим на множители:
   $$3x^2+10x+3=(3x+1)(x+3),$$
   $$x^2+8x+15=(x+3)(x+5).$$

   Тогда
   $$\frac{(3x+1)(x+3)}{(x+3)(x+5)}\ge 0,$$
   $$x\ne -3,\; x\ne -5.$$

   Сокращаем на $$x+3$$:
   $$\frac{3x+1}{x+5}\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x<-5 \quad \text{или} \quad x\ge -\frac13.$$

Ответ

а) $$(-\infty,-3]\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$$
б) $$\left[\frac12,2\right)$$
в) $$[1,2)$$
г) $$(-\infty,-5)\cup\left[-\frac13,+\infty\right)$$