Упр.2.31 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

   $$\frac{2x+4}{x^2+8x-48}\ge 0.$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2+8x-48=(x+12)(x-4).$$

   Тогда

   $$\frac{2(x+2)}{(x+12)(x-4)}\ge 0,\qquad x\ne -12,\ x\ne 4.$$

   По знакам множителей получаем:

   $$-12<x\le -2 \quad \text{или} \quad x>4.$$

2. б)

   $$\frac{14-x^2+5x}{x+2}\ge 0.$$

   Преобразуем числитель:

   $$14-x^2+5x=-(x^2-5x-14)=-(x-7)(x+2).$$

   Тогда

   $$\frac{-(x-7)(x+2)}{x+2}\ge 0.$$

   При $x\ne -2$ сокращаем на $x+2$:

   $$-(x-7)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 7.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad -2<x\le 7.$$

3. в)

   $$\frac{x^2+7x+10}{6-x}\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+7x+10=(x+5)(x+2),\qquad 6-x=-(x-6).$$

   Получаем

   $$\frac{(x+5)(x+2)}{x-6}\le 0,\qquad x\ne 6.$$

   Отсюда

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad -2\le x<6.$$

4. г)

   $$\frac{x-3}{x^2+5x-24}\ge 0.$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2+5x-24=(x+8)(x-3).$$

   Тогда

   $$\frac{x-3}{(x+8)(x-3)}\ge 0,\qquad x\ne -8,\ x\ne 3.$$

   При $x\ne 3$ сокращаем на $x-3$:

   $$\frac{1}{x+8}\ge 0.$$

   Так как числитель положителен, то

   $$x>-8,$$

   но $x\ne 3$. Значит,

   $$-8<x<3 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ

1. а) $$-12<x\le -2 \text{ или } x>4$$
2. б) $$x<-2 \text{ или } -2<x\le 7$$
3. в) $$x\le -5 \text{ или } -2\le x<6$$
4. г) $$-8<x<3 \text{ или } x>3$$