Упр.2.30 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. а)

   $$\frac{x^3+x^2+x}{9x^2-25}\ge 0$$
   $$\frac{x(x^2+x+1)}{(3x-5)(3x+5)}\ge 0$$

   Так как
   $$D=1-4=-3<0,$$
   то
   $$x^2+x+1>0$$
   при любых $$x$$.

   Тогда нужно решить
   $$\frac{x}{(3x-5)(3x+5)}\ge 0,$$
   при этом
   $$x\ne \frac53,\quad x\ne -\frac53.$$

   Знак дроби неотрицателен на промежутках
   $$-\frac53<x\le 0$$
   и
   $$x>\frac53.$$

2. б)

   $$\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8}\le 0$$
   $$\frac{x^2(x-1)+(x-1)}{x+8}\le 0$$
   $$\frac{(x-1)(x^2+1)}{x+8}\le 0$$

   Так как
   $$x^2+1>0$$
   при любых $$x$$, получаем
   $$\frac{x-1}{x+8}\le 0,$$
   где
   $$x\ne -8.$$

   Следовательно,
   $$-8<x\le 1.$$

3. в)

   $$\frac{x^4+x^2+1}{x^2-4x-5}<0$$

   Числитель всегда положителен, так как
   $$x^4+x^2+1>0$$
   при любых $$x$$.

   Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда
   $$x^2-4x-5<0.$$

   Решим:
   $$x^2-4x-5=(x-5)(x+1),$$
   поэтому
   $$-1<x<5.$$

4. г)

   $$\frac{x^4-2x^2-8}{x^2+x+1}<0$$

   Так как
   $$x^2+x+1>0$$
   при любых $$x$$, достаточно решить
   $$x^4-2x^2-8<0.$$

   Сделаем замену:
   $$t=x^2.$$
   Тогда
   $$t^2-2t-8<0,$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+2\right)<0.$$

   С учётом $$t=x^2\ge 0$$ получаем
   $$0\le t<4,$$
   то есть
   $$x^2<4.$$

   Следовательно,
   $$-2<x<2.$$

Ответ

а) $$-\frac53<x\le 0,\; x>\frac53$$
б) $$-8<x\le 1$$
в) $$-1<x<5$$
г) $$-2<x<2$$