Упр.2.29 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. $$\frac{x^2+x+1}{x+7}<0$$

   Числитель $$x^2+x+1$$ всегда положителен, так как

   $$D=1-4=-3<0.$$

   Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

   $$x+7<0,$$ $$x<-7.$$

2. $$\frac{9-4x^2}{2x^2+x+1}\le 0$$

   Знаменатель всегда положителен, так как

   $$D=1-8=-7<0.$$

   Тогда нужно решить неравенство

   $$9-4x^2\le 0,$$
   $$4x^2-9\ge 0,$$
   $$(2x-3)(2x+3)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le -\frac32 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$

3. $$\frac{6-x}{x^2+2x+5}\ge 0$$

   Знаменатель всегда положителен, так как

   $$D=4-20=-16<0.$$

   Следовательно,

   $$6-x\ge 0,$$
   $$x\le 6.$$

4. $$\frac{3x^2-2x+1}{5x^2-x}\le 0$$

   Числитель всегда положителен, так как

   $$D=4-12=-8<0.$$

   Значит, дробь не может быть отрицательной, а равна нулю только при

   $$3x^2-2x+1=0,$$

   но это уравнение не имеет действительных корней. Поэтому нужно, чтобы дробь была отрицательной, то есть знаменатель был отрицателен:

   $$5x^2-x<0,$$ $$x(5x-1)<0.$$

   Отсюда

   $$0

5. $$\frac{x^3+x^2+x}{9x^2-25}\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{x(x^2+x+1)}{(3x-5)(3x+5)}\ge 0.$$

   Так как $$x^2+x+1>0$$ при любых $$x$$, получаем

   $$\frac{x}{(3x-5)(3x+5)}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac53,\;0,\;\frac53.$$ По знакам дроби получаем

   $$-\frac53\frac53.$$

6. $$\frac{x^3-x^2+x-1}{x+8}\le 0$$

   Сгруппируем числитель:

   $$x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1).$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, имеем

   $$\frac{x-1}{x+8}\le 0.$$

   Критические точки: $$x=-8$$ и $$x=1$$. Тогда

   $$-8

7. $$\frac{x^4+x^2+1}{x^2-4x-5}<0$$

   Числитель всегда положителен, так как

   $$x^4+x^2+1>0.$$

   Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

   $$x^2-4x-5<0,$$ $$(x-5)(x+1)<0.$$

   Отсюда

   $$-1

8. $$\frac{x^4-2x^2-8}{x^2+x+1}<0$$

   Знаменатель всегда положителен, так как

   $$D=1-4=-3<0.$$

   Тогда нужно решить

   $$x^4-2x^2-8<0.$$

   Сделаем замену $$t=x^2$$:

   $$t^2-2t-8<0,$$ $$(t-4)(t+2)<0.$$

   Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем

   $$0\le t<4,$$ $$x^2<4,$$ $$-2

Ответ

а) $$x<-7$$;
б) $$x\le -\frac32$$ или $$x\ge \frac32$$;
в) $$x\le 6$$;
г) $$0<x<\frac15$$;
д) $$-\frac53<x\le 0$$ или $$x>\frac53$$;
е) $$-8<x\le 1$$;
ж) $$-1<x<5$$;
з) $$-2<x<2$$.