Упр.2.25 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:
а)
$$\frac{x^2-5x+6}{x^2-12x+35}>0$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \quad x^2-12x+35=(x-5)(x-7)$$
Тогда
$$\frac{(x-2)(x-3)}{(x-5)(x-7)}>0.$$
Знаки дроби положительны на промежутках
$$x<2,\quad 3<x<5,\quad x>7.$$б)
$$\frac{x^2-4x+12}{9-x^2}<0$$
$$9-x^2=-(x^2-9)=-(x-3)(x+3)$$
Тогда
$$\frac{x^2-4x+12}{(x-3)(x+3)}>0.$$
Так как
$$D=16-48=-32<0,$$
то
$$x^2-4x+12>0$$
при любых $x$.
Значит,
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>3.$$в)
$$\frac{x^2-2x+3}{x^2+9x+8}<0$$
$$D=4-12=-8<0,$$
значит
$$x^2-2x+3>0$$
при любых $x$.$$x^2+9x+8=(x+1)(x+8)$$
Следовательно,
$$\frac{1}{(x+1)(x+8)}<0,$$
откуда
$$-8<x<-1.$$г)
$$\frac{x^2+7x+12}{25-x^2}>0$$
$$25-x^2=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)$$
Тогда
$$\frac{x^2+7x+12}{(x-5)(x+5)}<0.$$
Разложим числитель:
$$x^2+7x+12=(x+3)(x+4).$$Получаем
$$\frac{(x+3)(x+4)}{(x-5)(x+5)}<0.$$
Ответ:
$$-5<x<-4 \quad \text{или} \quad -3<x<5.$$д)
$$\frac{2x^2+18x-4}{x^2+9x+8}>2$$
$$\frac{2x^2+18x-4-2x^2-18x-16}{x^2+9x+8}>0$$
$$\frac{-20}{x^2+9x+8}>0$$
$$\frac{-20}{(x+1)(x+8)}>0$$
значит
$$(x+1)(x+8)<0.$$Отсюда
$$-8<x<-1.$$е)
$$\frac{x^2-16}{x^2+x}\le 0$$
$$\frac{(x-4)(x+4)}{x(x+1)}\le 0,\quad x\ne 0,\; x\ne -1$$
По знакам получаем:
$$-4\le x\le -1 \quad \text{или} \quad 0<x\le 4.$$ж)
$$\frac{1-x^2}{x^2+2x-8}\ge -1$$
$$\frac{1-x^2+x^2+2x-8}{x^2+2x-8}\ge 0$$
$$\frac{2x-7}{(x-2)(x+4)}\ge 0,\quad x\ne 2,\; x\ne -4$$
Отсюда
$$-4<x<2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{7}{2}.$$з)
$$\frac{x^2+3x+10}{x^2-9}<2$$
$$\frac{x^2+3x+10-2x^2+18}{x^2-9}<0$$
$$\frac{-x^2+3x+28}{x^2-9}<0$$
$$\frac{x^2-3x-28}{x^2-9}>0$$
$$x^2-3x-28=(x-7)(x+4), \quad x^2-9=(x-3)(x+3)$$
Тогда
$$\frac{(x-7)(x+4)}{(x-3)(x+3)}>0.$$
Отсюда
$$x<-4,\quad -3<x<3,\quad x>7.$$
Ответ
а) $$x<2,\; 3<x<5,\; x>7$$
б) $$x<-3,\; x>3$$
в) $$-8<x<-1$$
г) $$-5<x<-4,\; -3<x<5$$
д) $$-8<x<-1$$
е) $$-4\le x\le -1,\; 0<x\le 4$$
ж) $$-4<x<2,\; x\ge \frac{7}{2}$$
з) $$x<-4,\; -3<x<3,\; x>7$$
