Упр.2.24 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. а) $$(x^2+4x+4)(6x-x^2+7)<0$$;
   б) $$(x+3)^3(3x-2-x^2)\geq 0$$;
   в) $$(x^2-6x+9)(6-5x-x^2)>0$$;
   г) $$(x-4)^3(7x-x^2-10)\leq 0$$.

1. а) $$\frac{x^2-5x+6}{x^2-12x+35}>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \quad x^2-12x+35=(x-5)(x-7).$$

   Тогда

   $$\frac{(x-2)(x-3)}{(x-5)(x-7)}>0.$$

   Критические точки: $$2,\ 3,\ 5,\ 7.$$ Знак дроби положителен на промежутках

   $$x<2,\quad 3<x<5,\quad x>7.$$

2. б) $$\frac{x^2-4x+12}{9-x^2}<0$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$9-x^2=-(x^2-9)=-(x-3)(x+3).$$

   Тогда

   $$\frac{x^2-4x+12}{(x-3)(x+3)}>0.$$

   Числитель всегда положителен, так как

   $$D=16-48=-32<0.$$

   Значит, нужно, чтобы

   $$(x-3)(x+3)>0,$$

   откуда

   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>3.$$

3. в) $$\frac{x^2-2x+3}{x^2+9x+8}<0$$

   Числитель всегда положителен, так как

   $$D=4-12=-8<0.$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2+9x+8=(x+1)(x+8).$$

   Тогда

   $$\frac{1}{(x+1)(x+8)}<0,$$

   значит

   $$(x+1)(x+8)<0.$$

   Отсюда

   $$-8<x<-1.$$

4. г) $$\frac{x^2+7x+12}{25-x^2}>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+7x+12=(x+3)(x+4), \quad 25-x^2=-(x-5)(x+5).$$

   Тогда

   $$\frac{(x+3)(x+4)}{(x-5)(x+5)}<0.$$

   Критические точки: $$-5,\ -4,\ -3,\ 5.$$ Знак дроби отрицателен на промежутках

   $$-5<x<-4 \quad \text{и} \quad -3<x<5.$$

Ответ

а) $$x<2,\ 3<x<5,\ x>7$$

б) $$x<-3,\ x>3$$

в) $$-8<x<-1$$

г) $$-5<x<-4,\ -3<x<5$$