Упр.2.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2019 года:
а) $$\left(x-1\right)^2\left(x^2+4x-12\right)<0$$;
б) $$\left(x+2\right)\left(x^2-6x-16\right)>0$$;
в) $$\left(x+3\right)^2\left(x^2-10x+21\right)\geq 0$$;
г) $$\left(x-1\right)\left(x^2-7x+6\right)\geq 0$$. - Задание учебника 2010 года:
а) $$\left(x^2+4x+4\right)\left(6x-x^2+7\right)<0$$;
б) $$\left(x+3\right)^3\left(3x-2-x^2\right)\geq 0$$;
в) $$\left(x^2-6x+9\right)\left(6-5x-x^2\right)>0$$;
г) $$\left(x-4\right)^3\left(7x-x^2-10\right)\leq 0$$.
$$(x-1)^2(x^2+4x-12)<0$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2+4x-12=(x+6)(x-2)$$
Тогда
$$(x-1)^2(x+6)(x-2)<0$$
Множитель $$(x-1)^2$$ не меняет знак и обращается в нуль при $$x=1$$, поэтому знак произведения определяется выражением $$(x+6)(x-2)$$.
Для отрицательности нужно:
$$-6<x<1 \quad \text{или} \quad 1<x<2$$
$$(x+2)(x^2-6x-16)>0$$
Разложим на множители:
$$x^2-6x-16=(x-8)(x+2)$$
Получаем:
$$(x+2)^2(x-8)>0$$
Так как $$(x+2)^2\ge 0$$, то неравенство выполняется при
$$x>8$$
$$(x+3)^2(x^2-10x+21)\ge 0$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$$
Тогда
$$(x+3)^2(x-3)(x-7)\ge 0$$
Так как $$(x+3)^2\ge 0$$, то нужно, чтобы
$$(x-3)(x-7)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 7$$
$$(x-1)(x^2-7x+6)\ge 0$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)$$
Получаем:
$$(x-1)^2(x-6)\ge 0$$
Так как $$(x-1)^2\ge 0$$, то неравенство выполняется при
$$x=1 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$
$$(x^2+4x+4)(6x-x^2+7)<0$$
Преобразуем выражение:
$$x^2+4x+4=(x+2)^2, \qquad 6x-x^2+7=-(x^2-6x-7)=-(x+1)(x-7)$$
Тогда
$$-(x+2)^2(x+1)(x-7)<0$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$(x+2)^2(x+1)(x-7)>0$$
Так как $$(x+2)^2\ge 0$$, получаем
$$x<-2 \quad \text{или} \quad -2<x<-1 \quad \text{или} \quad x>7$$
$$(x+3)^3(3x-2-x^2)\ge 0$$
Преобразуем:
$$3x-2-x^2=-(x^2-3x+2)=-(x-1)(x-2)$$
Тогда
$$-(x+3)^3(x-1)(x-2)\ge 0$$
Умножим на $$-1$$:
$$(x+3)^3(x-1)(x-2)\le 0$$
Знак куба определяется знаком $$x+3$$, поэтому
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad 1\le x\le 2$$
$$(x^2-6x+9)(6-5x-x^2)>0$$
Преобразуем:
$$x^2-6x+9=(x-3)^2, \qquad 6-5x-x^2=-(x^2+5x-6)=-(x+6)(x-1)$$
Тогда
$$-(x-3)^2(x+6)(x-1)>0$$
Умножим на $$-1$$:
$$(x-3)^2(x+6)(x-1)<0$$
Так как $$(x-3)^2\ge 0$$, получаем
$$-6<x<1$$
$$(x-4)^3(7x-x^2-10)\le 0$$
Преобразуем:
$$7x-x^2-10=-(x^2-7x+10)=-(x-2)(x-5)$$
Тогда
$$-(x-4)^3(x-2)(x-5)\le 0$$
Умножим на $$-1$$:
$$(x-4)^3(x-2)(x-5)\ge 0$$
Знак куба определяется знаком $$x-4$$, поэтому
$$2\le x\le 4 \quad \text{или} \quad x\ge 5$$
Ответ
а) $$-6<x<1$$ или $$1<x<2$$;
б) $$x>8$$;
в) $$x\le 3$$ или $$x\ge 7$$;
г) $$x=1$$ или $$x\ge 6$$;
д) $$x<-2$$ или $$-2<x<-1$$ или $$x>7$$;
е) $$x\le -3$$ или $$1\le x\le 2$$;
ж) $$-6<x<1$$;
з) $$2\le x\le 4$$ или $$x\ge 5$$.
