Упр.2.23 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
б) (х + 2)(хг — 6х — 16) > 0;
в) (х + 3)2(x2 — 10x + 21) >= 0;
г) (х — 1)(х2 — 7х + 6) >= 0.
а) (х2 + 4х + 4)(6х — x2+7)<0;
б) (х + 3)3(3х - 2 - x2)>=0;
в) (х2 — 6х + 9)(6 -5x-x2)>0;
г) (х — 4)3(7х — х2-10)<=0.
$$ (x-1)^2(x^2+4x-12)<0 $$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$ x^2+4x-12=(x+6)(x-2) $$
Тогда
$$ (x-1)^2(x+6)(x-2)<0 $$
Множитель $$ (x-1)^2 $$ не меняет знак и обращается в нуль при $$ x=1 $$, поэтому знак произведения определяется выражением $$ (x+6)(x-2) $$.
Для отрицательности нужно:
$$ -6<x<1 \quad \text{или} \quad 1<x<2 $$
$$ (x+2)(x^2-6x-16)>0 $$
Разложим на множители:
$$ x^2-6x-16=(x-8)(x+2) $$
Получаем:
$$ (x+2)^2(x-8)>0 $$
Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то неравенство выполняется при
$$ x>8 $$
$$ (x+3)^2(x^2-10x+21)\ge 0 $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ x^2-10x+21=(x-3)(x-7) $$
Тогда
$$ (x+3)^2(x-3)(x-7)\ge 0 $$
Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$, то нужно, чтобы
$$ (x-3)(x-7)\ge 0 $$
Отсюда
$$ x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 7 $$
$$ (x-1)(x^2-7x+6)\ge 0 $$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$ x^2-7x+6=(x-1)(x-6) $$
Получаем:
$$ (x-1)^2(x-6)\ge 0 $$
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, то неравенство выполняется при
$$ x=1 \quad \text{или} \quad x\ge 6 $$
$$ (x^2+4x+4)(6x-x^2+7)<0 $$
Преобразуем выражение:
$$ x^2+4x+4=(x+2)^2, \qquad 6x-x^2+7=-(x^2-6x-7)=-(x+1)(x-7) $$
Тогда
$$ -(x+2)^2(x+1)(x-7)<0 $$
Умножим на $$ -1 $$, изменив знак неравенства:
$$ (x+2)^2(x+1)(x-7)>0 $$
Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, получаем
$$ x<-2 \quad \text{или} \quad -2<x<-1 \quad \text{или} \quad x>7 $$
$$ (x+3)^3(3x-2-x^2)\ge 0 $$
Преобразуем:
$$ 3x-2-x^2=-(x^2-3x+2)=-(x-1)(x-2) $$
Тогда
$$ -(x+3)^3(x-1)(x-2)\ge 0 $$
Умножим на $$ -1 $$:
$$ (x+3)^3(x-1)(x-2)\le 0 $$
Знак куба определяется знаком $$ x+3 $$, поэтому
$$ x\le -3 \quad \text{или} \quad 1\le x\le 2 $$
$$ (x^2-6x+9)(6-5x-x^2)>0 $$
Преобразуем:
$$ x^2-6x+9=(x-3)^2, \qquad 6-5x-x^2=-(x^2+5x-6)=-(x+6)(x-1) $$
Тогда
$$ -(x-3)^2(x+6)(x-1)>0 $$
Умножим на $$ -1 $$:
$$ (x-3)^2(x+6)(x-1)<0 $$
Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$, получаем
$$ -6<x<1 $$
$$ (x-4)^3(7x-x^2-10)\le 0 $$
Преобразуем:
$$ 7x-x^2-10=-(x^2-7x+10)=-(x-2)(x-5) $$
Тогда
$$ -(x-4)^3(x-2)(x-5)\le 0 $$
Умножим на $$ -1 $$:
$$ (x-4)^3(x-2)(x-5)\ge 0 $$
Знак куба определяется знаком $$ x-4 $$, поэтому
$$ 2\le x\le 4 \quad \text{или} \quad x\ge 5 $$
Ответ
а) $$ -6<x<1 $$ или $$ 1<x<2 $$;
б) $$ x>8 $$;
в) $$ x\le 3 $$ или $$ x\ge 7 $$;
г) $$ x=1 $$ или $$ x\ge 6 $$;
д) $$ x<-2 $$ или $$ -2<x<-1 $$ или $$ x>7 $$;
е) $$ x\le -3 $$ или $$ 1\le x\le 2 $$;
ж) $$ -6<x<1 $$;
з) $$ 2\le x\le 4 $$ или $$ x\ge 5 $$.
