Упр.2.22 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
б) (х + 2)2(х + 4) <= 0;
в) х2(х + 3) > 0;
г) (х — 1)2(х — 5) <= 0.
а) (х - 1)2(х2 + 4х - 12) < 0;
б) (х + 2)(хг - 6х - 16) > 0;
в) (х + 3)2(x2 — 10x + 21) >= 0;
г) (х — 1)(х2 — 7х + 6) >= 0.
а) $$x^2(x-9)>0.$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то произведение будет положительным только при $$x^2>0$$ и $$x-9>0$$. Значит,
$$x>9.$$
б) $$(x+2)^2(x+4)\le 0.$$
Поскольку $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то произведение не положительно, когда $$x+4\le 0$$, а также при обращении квадрата в нуль. Получаем
$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x=-2.$$
в) $$x^2(x+3)>0.$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то нужно, чтобы $$x^2>0$$ и $$x+3>0$$. Тогда
$$x\ne 0,\quad x>-3.$$
Следовательно,
$$-3<x<0 \quad \text{или} \quad x>0.$$
г) $$(x-1)^2(x-5)\le 0.$$
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, то произведение не положительно при $$x-5\le 0$$, а также при $$x=1$$. Значит,
$$x\le 5.$$
Ход решения
а) $$(x-1)^2(x^2+4x-12)<0.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2+4x-12=(x+6)(x-2).$$
Тогда
$$ (x-1)^2(x+6)(x-2)<0.$$
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, то нужно, чтобы $$ (x+6)(x-2)<0 $$ и $$x\ne 1$$. Отсюда
$$-6<x<2,\quad x\ne 1.$$
Ответ:
$$-6<x<1 \quad \text{или} \quad 1<x<2.$$
б) $$(x+2)(x^2-6x-16)>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-6x-16=(x-8)(x+2).$$
Тогда
$$ (x+2)^2(x-8)>0.$$
Поскольку $$ (x+2)^2\ge 0 $$, получаем
$$x>8.$$
в) $$(x+3)^2(x^2-10x+21)\ge 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-10x+21=(x-3)(x-7).$$
Тогда
$$ (x+3)^2(x-3)(x-7)\ge 0.$$
Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$, то достаточно рассмотреть знак произведения $$ (x-3)(x-7) $$ и случай $$x=-3$$. Получаем
$$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 7.$$
г) $$(x-1)(x^2-7x+6)\ge 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$
Тогда
$$ (x-1)^2(x-6)\ge 0.$$
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, получаем
$$x=1 \quad \text{или} \quad x\ge 6.$$
Ответ
а) $$x>9$$; б) $$x\le -4$$ или $$x=-2$$; в) $$-3<x<0$$ или $$x>0$$; г) $$x\le 5$$.
а) $$-6<x<1$$ или $$1<x<2$$; б) $$x>8$$; в) $$x\le 3$$ или $$x\ge 7$$; г) $$x=1$$ или $$x\ge 6$$.
