Упр.2.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2019 года: а) $$x+\frac{8}{x}\leq 6$$; б) $$x+\frac{2}{x}\geq 3$$; в) $$x+\frac{3}{x}\leq -4$$; г) $$x-\frac{8}{x}<2$$.
2. Задание учебника 2010 года: а) $$(x-1)(x^2-3x+8)<0$$; б) $$(x+5)(x^2+x+6)\geq 0$$; в) $$(x-7)(-x^2-3x-18)>0$$; г) $$(x+1{,}2)(x^2+5x+14)\leq 0$$.

1. $$x+\frac{8}{x}\le 6$$

   $$\frac{x^2+8}{x}-6\le 0 \Rightarrow \frac{x^2-6x+8}{x}\le 0$$

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$$

   $$\frac{(x-2)(x-4)}{x}\le 0$$

   Критические точки: $$x=0,\;2,\;4$$. По знакам получаем:

   $$x<0 \text{ или } 2\le x\le 4$$

2. $$x+\frac{2}{x}\ge 3$$

   $$\frac{x^2+2}{x}-3\ge 0 \Rightarrow \frac{x^2-3x+2}{x}\ge 0$$

   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

   $$\frac{(x-1)(x-2)}{x}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=0,\;1,\;2$$. Тогда

   $$0<x\le 1 \text{ или } x\ge 2$$

3. $$x+\frac{3}{x}\le -4$$

   $$\frac{x^2+3}{x}+4\le 0 \Rightarrow \frac{x^2+4x+3}{x}\le 0$$

   $$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$$

   $$\frac{(x+1)(x+3)}{x}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-3,\,-1,\;0$$. Получаем

   $$x\le -3 \text{ или } -1\le x<0$$

4. $$x-\frac{8}{x}<2$$

   $$\frac{x^2-8}{x}-2<0 \Rightarrow \frac{x^2-2x-8}{x}<0$$

   $$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$$

   $$\frac{(x-4)(x+2)}{x}<0$$

   Критические точки: $$x=-2,\;0,\;4$$. Тогда

   $$-2<x<0 \text{ или } x>4$$

Ответ

а) $$x<0$$ или $$2\le x\le 4$$;
б) $$0<x\le 1$$ или $$x\ge 2$$;
в) $$x\le -3$$ или $$-1\le x<0$$;
г) $$-2<x<0$$ или $$x>4$$.