Итоговое повторение Упр.191 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$m$$ парабола $$y=-x^2+m$$ и окружность имеют: а) одну общую точку; б) три общие точки.

Точки пересечения параболы $$y=-x^2+m$$ и окружности $$x^2+y^2=5$$ найдём из системы

$$\begin{cases} y=-x^2+m,\\ x^2+y^2=5. \end{cases}$$

Так как обе фигуры симметричны относительно оси $$Oy$$, то при пересечении в точке с абсциссой $$x\neq 0$$ появляется ещё одна симметричная точка. Поэтому:

• одна общая точка возможна только при касании в точке на оси $$Oy$$;
• три общие точки возможны, если одна точка лежит на оси $$Oy$$, а две другие симметричны относительно неё.

Подставим $$x=0$$. Тогда из уравнения окружности получаем

$$y^2=5,\qquad y=\pm\sqrt5.$$

Для параболы при $$x=0$$ имеем

$$y=m.$$

а) Одна общая точка.
Чтобы была только одна точка пересечения, вершина параболы должна касаться окружности в нижней точке:

$$m=-\sqrt5.$$

б) Три общие точки.
Чтобы было три точки пересечения, вершина параболы должна лежать в верхней точке окружности:

$$m=\sqrt5.$$

Ответ

а) $$-\sqrt5$$; б) $$\sqrt5$$.