Упр.19.19 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2019 года.
В наборе $$5, 5, \ldots, 5$$ на двойки заменили $$n$$ пятёрок.
а) Найдите среднее получившегося набора при $$n=5$$.
б) Найдите среднее получившегося набора при $$n=10$$.
в) При каком наименьшем $$n$$ среднее получившегося набора станет меньше $$4$$?
г) При каком наименьшем $$n$$ среднее получившегося набора станет меньше $$3$$? - Задание учебника 2010 года.
Таблица распределения кратностей имеет вид:
Варианта $$0$$ $$1$$ $$3$$ $$5$$ $$6$$ Кратность $$19$$ $$2$$ $$3x-1$$ $$5$$ $$4x-9$$ а) Выразите через $$x$$ среднее значение.
б) Как выглядит график зависимости среднего значения от $$x$$?
в) Каким может быть целое число $$x$$, если модой является $$0$$?
г) Может ли мода распределения равняться трём?
Пусть в наборе было 20 чисел: два числа равны 1, три числа равны 3, одно число равно 5, а остальные числа равны 6. Тогда сумма всех чисел равна
$$2\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 1+6\cdot 1=2+9+5+6=22.$$
После замены кратностей получаем:
число 1 встречается $$19$$ раз, число 3 — $$2$$ раза, число 5 — $$3x-1$$ раз, число 6 — $$4x-9$$ раз.
Общее число элементов:
$$N=19+2+(3x-1)+5+(4x-9)=7x+16.$$
Сумма всех элементов:
$$S=1\cdot 19+3\cdot 2+5(3x-1)+6(4x-9)=19+6+15x-5+24x-54=39x-34.$$
Тогда среднее значение:
$$\bar x=\frac{S}{N}=\frac{39x-34}{7x+16}.$$
а) При $$x=1$$:
$$\bar x=\frac{39\cdot 1-34}{7\cdot 1+16}=\frac{5}{23}.$$
б) При $$x=2$$:
$$\bar x=\frac{39\cdot 2-34}{7\cdot 2+16}=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}.$$
в) Найдём, при каких целых $$x$$ мода равна 0. Для этого число 0 должно встречаться чаще остальных, то есть
$$19>3x-1,\qquad 19>4x-9.$$
Отсюда
$$3x<20,\qquad 4x<28,$$
значит
$$x<\frac{20}{3},\qquad x<7.$$
Кроме того, кратности должны быть положительными:
$$3x-1>0,\qquad 4x-9>0,$$
то есть
$$x>\frac13,\qquad x>{\frac94}.$$
Следовательно, целые значения $$x$$:
$$x=3,4,5,6.$$
г) Чтобы мода равнялась 3, нужно, чтобы число 3 встречалось чаще остальных:
$$3x-1>19,\qquad 3x-1>{4x-9}.$$
Из первого неравенства получаем
$$3x>20,\qquad x>\frac{20}{3}.$$
Из второго:
$$-x>-8,\qquad x<8.$$
Значит,
$$\frac{20}{3}<x<8.$$
Единственное целое значение здесь — $$x=7$$. При этом $$3x-1=20$$ и $$4x-9=19$$, то есть число 3 действительно является модой.
Ответ
а) $$\frac{5}{23}$$; б) $$\frac{22}{15}$$; в) $$3,4,5,6$$; г) да, при $$x=7$$.
