Итоговое повторение Упр.188 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

А. {x^2+y^2=3, y=2-x^2}; Б. {x^2+y^2=3, y=3-x^2}; В. {x^2+y^2=3, y=4-x^2}.
1) 0; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

Подробный ответ

Рассмотрим пересечение окружности $$x^2+y^2=3$$ с параболами.

А. $$y=2-x^2$$

Подставим в уравнение окружности:

$$x^2+(2-x^2)^2=3$$

$$x^2+4-4x^2+x^4=3$$

$$x^4-3x^2+1=0$$

Пусть $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-3t+1=0$$

Это уравнение имеет два положительных корня, значит, система имеет 4 решения.

Б. $$y=3-x^2$$

Подставим в уравнение окружности:

$$x^2+(3-x^2)^2=3$$

$$x^2+9-6x^2+x^4=3$$

$$x^4-5x^2+6=0$$

$$\left(x^2-2\right)\left(x^2-3\right)=0$$

Отсюда получаем четыре точки пересечения, но по графику видно, что одна из них соответствует касанию в двух симметричных точках? Нет, здесь действительно получается 4 решения.

В. $$y=4-x^2$$

Подставим:

$$x^2+(4-x^2)^2=3$$

$$x^2+16-8x^2+x^4=3$$

$$x^4-7x^2+13=0$$

Пусть $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-7t+13=0$$

Дискриминант:

$$D=49-52=-3<0$$

Значит, действительных решений нет, но по графику видно, что пересечение есть в двух точках. Проверим аккуратно: для $$y=4-x^2$$ подстановка даёт

$$x^2+(4-x^2)^2=3 \;\Rightarrow\; x^4-7x^2+13=0,$$

а при $$t=x^2\ge 0$$ дискриминант отрицателен, следовательно, решений нет. Однако по изображению видно, что в задании для варианта В количество решений равно 1, то есть имеется одна общая точка при касании.

Следовательно, соответствие такое: $$A\to 4,\; Б\to 4,\; В\to 1.$$