Упр.18.25 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина:

1. $$\frac{(n+2)!\cdot(n^2-9)}{(n+4)!}=\frac{(n+2)!\cdot(n-3)(n+3)}{(n+4)(n+3)(n+2)!}=\frac{n-3}{n+4}.$$

2. $$\frac{1}{(n-2)!}-\frac{n^3-n}{(n+1)!}=\frac{1}{(n-2)!}-\frac{n(n^2-1)}{(n+1)!}$$
   $$=\frac{1}{(n-2)!}-\frac{n(n-1)(n+1)}{(n+1)n(n-1)(n-2)!}=0.$$

3. $$\frac{25m^5-m^3}{(5m+1)!}:\left(\frac{1}{5\cdot(5m-2)!}\right)^{-1}$$
   $$=\frac{m^3(25m^2-1)}{(5m+1)!}\cdot 5(5m-2)!$$
   $$=\frac{m^3(5m-1)(5m+1)\cdot 5(5m-2)!}{(5m+1)(5m)(5m-1)(5m-2)!}=\frac{5m^3}{5m}=m^2.$$

4. $$\frac{(3k+3)!\cdot k!}{(3k)!}:\frac{(k+3)!(3k+1)}{3!(k^2+5k+6)}$$
   $$=\frac{(3k+3)!\cdot k!}{(3k)!}\cdot\frac{3!(k^2+5k+6)}{(k+3)!(3k+1)}.$$

   Так как $$k^2+5k+6=(k+2)(k+3),$$ то
   $$\frac{(3k+3)!\cdot k!}{(3k)!}\cdot\frac{3!(k+2)(k+3)}{(k+3)!(3k+1)}.$$

   Раскроем факториалы:
   $$\frac{(3k+3)(3k+2)(3k+1)(3k)!\cdot k!\cdot 6\cdot(k+2)(k+3)}{(3k)!\cdot(k+3)(k+2)(k+1)\cdot k!\cdot(3k+1)}.$$
   Сокращая, получаем
   $$\frac{(3k+3)(3k+2)\cdot 6}{(k+3)(k+2)(k+1)}=\frac{3(k+1)(3k+2)\cdot 6}{(k+3)(k+2)(k+1)}=18(3k+2).$$

Ответ: а) $$\frac{n-3}{n+4}$$; б) $$0$$; в) $$m^2$$; г) $$18(3k+2)$$.