Упр.18.22 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х.
б) Сколько всего таких чисел можно составить?
в) Сколько среди них будет нечетных чисел?
г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12?

Подробный ответ

Число $$x=2^a3^b5^c,$$ где $$a,b,c \in \{0,1,2,3\}$$ и все показатели различны.

а) Наименьшее значение получится при наименьших показателях у меньших простых чисел, а наибольшее — при наибольших:

$$x_{\min}=2^2\cdot 3^1\cdot 5^0=4\cdot 3\cdot 1=12,$$
$$x_{\max}=2^1\cdot 3^2\cdot 5^3=2\cdot 9\cdot 125=2250.$$

б) Всего таких чисел — это число размещений без повторений из 4 элементов по 3:

$$A_4^3=\frac{4!}{(4-3)!}=4\cdot 3\cdot 2=24.$$

в) Число будет нечётным тогда и только тогда, когда в нём нет множителя $$2,$$ то есть $$a=0.$$

Тогда цифры $$b$$ и $$c$$ выбираются из оставшихся трёх чисел и расставляются по двум местам:

$$A_3^2=\frac{3!}{(3-2)!}=3\cdot 2=6.$$

г) Число кратно $$12,$$ если оно кратно $$4$$ и $$3.$$

Для кратности $$4$$ нужно, чтобы $$a\ge 2,$$ а для кратности $$3$$ — чтобы $$b\ne 0.$$

Возможны два варианта для $$a$$: $$a=2$$ или $$a=3.$$

После выбора $$a$$ остаются три цифры, из которых нужно выбрать $$b$$ и $$c$$, причём $$b\ne 0.$$ Для каждого значения $$a$$ таких вариантов $$2\cdot 2=4,$$ а всего:

$$2\cdot 4=8.$$