Упр.18.16 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) Сколько существует способов рассаживания?
б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно?
в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя С следует посадить рядом с гостем А?
г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем D?

Всего стульев и людей одинаково: $$n=5.$$

1. а) Число способов рассадить 5 разных людей по 5 разным стульям равно числу перестановок:

   $$P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.$$

2. б) Если место хозяина уже известно, то остаётся 4 стула для 4 гостей:

   $$P_4=4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.$$

3. в) Если гостя $$C$$ нужно посадить рядом с гостем $$A$$, то пару $$A$$ и $$C$$ можно разместить на соседних стульях $$5$$ способами. Внутри пары они могут меняться местами, значит ещё $$2$$ способа. Оставшихся трёх гостей рассаживаем по трём стульям:

   $$3!=6.$$

   Тогда

   $$5\cdot2\cdot6=60.$$

4. г) Найдём число всех рассадок, в которых $$A$$ и $$D$$ сидят рядом, и вычтем его из общего числа.

   Пару $$A$$ и $$D$$ можно посадить на соседние места $$5$$ способами, внутри пары — $$2$$ способами. Оставшихся трёх гостей рассаживаем по трём стульям:

   $$3!=6.$$

   Значит, рядом с гостем $$A$$ гость $$D$$ сидит в

   $$5\cdot2\cdot6=60$$

   способах.

   Тогда число рассадок, где $$D$$ не сидит рядом с $$A$$:

   $$5!-60=120-60=60.$$

Ответ

а) $$120$$; б) $$24$$; в) $$60$$; г) $$60$$.