Упр.18.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) n! = 7(n — 1)!;
б) (m + 17)! = 420(m + 15)!;
в) (к — 10)! = 77(к — 11)!;
г) (3x)! = 504(3x — 3)!.

1. $$n! = 7(n-1)!$$
   
   $$n\cdot (n-1)! = 7(n-1)!$$
   
   $$n = 7.$$
2. $$ (m+17)! = 420(m+15)! $$
   
   $$ (m+17)(m+16)(m+15)! = 420(m+15)! $$
   
   $$ (m+17)(m+16) = 420 $$
   
   $$ m^2 + 33m + 272 = 420 $$
   
   $$ m^2 + 33m — 148 = 0 $$
   
   $$ D = 33^2 — 4\cdot 1\cdot(-148) = 1089 + 592 = 1681 = 41^2 $$
   
   $$ m_{1,2} = \frac{-33 \pm 41}{2} $$
   
   $$ m_1 = 4,\quad m_2 = -37 $$
   
   Значение $$m=-37$$ не подходит, так как тогда в левой части получается факториал отрицательного числа. Поэтому
   
   $$ m = 4. $$
3. $$ (k-10)! = 77(k-11)! $$
   
   $$ (k-10)(k-11)! = 77(k-11)! $$
   
   $$ k-10 = 77 $$
   
   $$ k = 87. $$
4. $$ (3x)! = 504(3x-3)! $$
   
   $$ 3x(3x-1)(3x-2)(3x-3)! = 504(3x-3)! $$
   
   $$ 3x(3x-1)(3x-2) = 504 $$
   
   $$ x(3x-1)(3x-2) = 168 $$
   
   $$ x(9x^2 — 9x + 2) = 168 $$
   
   $$ 9x^3 — 9x^2 + 2x — 168 = 0 $$
   
   $$ (x-3)(9x^2 + 18x + 56) = 0 $$
   
   $$ x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 $$
   
   Для квадратного множителя:
   
   $$ D = 18^2 — 4\cdot 9\cdot 56 = 324 — 2016 < 0, $$
   значит, действительных корней нет. Следовательно,
   
   $$ x = 3. $$

Ответ

а) $$n=7$$; б) $$m=4$$; в) $$k=87$$; г) $$x=3$$.