Упр.18.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Решите в натуральных числах уравнение: а) $$n! = 7(n — 1)!$$; б) $$(m + 17)! = 420(m + 15)!$$; в) $$(к — 10)! = 77(к — 11)!$$; г) $$(3x)! = 504(3x — 3)!$$.

1. $$n! = 7(n-1)!$$
   
   $$n\cdot (n-1)! = 7(n-1)!$$
   
   $$n = 7.$$
2. $$(m+17)! = 420(m+15)!$$
   
   $$(m+17)(m+16)(m+15)! = 420(m+15)!$$
   
   $$(m+17)(m+16) = 420$$
   
   $$m^2 + 33m + 272 = 420$$
   
   $$m^2 + 33m — 148 = 0$$
   
   $$D = 33^2 — 4\cdot 1\cdot(-148) = 1089 + 592 = 1681 = 41^2$$
   
   $$m_{1,2} = \frac{-33 \pm 41}{2}$$
   
   $$m_1 = 4,\quad m_2 = -37$$
   
   Значение $$m=-37$$ не подходит, так как тогда в левой части получается факториал отрицательного числа. Поэтому
   
   $$m = 4.$$
3. $$(k-10)! = 77(k-11)!$$
   
   $$(k-10)(k-11)! = 77(k-11)!$$
   
   $$k-10 = 77$$
   
   $$k = 87.$$
4. $$(3x)! = 504(3x-3)!$$
   
   $$3x(3x-1)(3x-2)(3x-3)! = 504(3x-3)!$$
   
   $$3x(3x-1)(3x-2) = 504$$
   
   $$x(3x-1)(3x-2) = 168$$
   
   $$x(9x^2 — 9x + 2) = 168$$
   
   $$9x^3 — 9x^2 + 2x — 168 = 0$$
   
   $$(x-3)(9x^2 + 18x + 56) = 0$$
   
   $$x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$$
   
   Для квадратного множителя:
   
   $$D = 18^2 — 4\cdot 9\cdot 56 = 324 — 2016 < 0,$$
   значит, действительных корней нет. Следовательно,
   
   $$x = 3.$$

Ответ

а) $$n=7$$; б) $$m=4$$; в) $$k=87$$; г) $$x=3$$.