Итоговое повторение Упр.173 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=|x^2-4x|$$. При каких значениях $$m$$ график данной функции будет иметь с прямой $$y=m$$ три общие точки?

Рассмотрим функцию

$$y=|x^2-4x|=|(x-2)^2-4|.$$

Сначала найдём, где выражение под модулем меняет знак:

$$x^2-4x=x(x-4)=0,$$

откуда $$x=0$$ и $$x=4.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} x^2-4x, & x\le 0 \text{ или } x\ge 4,\\ -x^2+4x, & 0\le x\le 4. \end{cases}$$

На промежутке $$[0;4]$$ график — ветвь параболы $$y=-x^2+4x$$, её вершина находится в точке $$x=2$$:

$$y(2)=-4+8=4.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$4$$, а график имеет вид «W» с вершинами в точках $$(0,0), (2,4), (4,0).$$

Чтобы прямая $$y=m$$ имела с графиком ровно три общие точки, она должна касаться графика в вершине $$(2,4)$$ и пересекать его ещё в двух точках по краям. Это возможно только при

$$m=4.$$

Ответ

$$m=4.$$