Итоговое повторение Упр.173 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Постройте график функции y=|x^2-4x|. При каких значениях m график данной функции будет иметь с прямой y=m три общие точки?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=|x^2-4x|=|(x-2)^2-4|.$$

Сначала найдём, где выражение под модулем меняет знак:

$$x^2-4x=x(x-4)=0,$$

откуда $$x=0$$ и $$x=4.$$

Тогда

$$ y= \begin{cases} x^2-4x, & x\le 0 \text{ или } x\ge 4,\\ -x^2+4x, & 0\le x\le 4. \end{cases} $$

На промежутке $$[0;4]$$ график — ветвь параболы $$y=-x^2+4x$$, её вершина находится в точке $$x=2$$:

$$y(2)=-4+8=4.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$4$$, а график имеет вид «W» с вершинами в точках $$ (0,0), (2,4), (4,0).$$

Чтобы прямая $$y=m$$ имела с графиком ровно три общие точки, она должна касаться графика в вершине $$ (2,4) $$ и пересекать его ещё в двух точках по краям. Это возможно только при

$$m=4.$$