Итоговое повторение Упр.172 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=\begin{cases}-x-2, & x<-2;\\-x^2+2x+8, & x?-2.\end{cases}$$ При каких значениях $$p$$ график данной функции имеет с прямой $$y=p$$ две общие точки?

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} -x-2, & x<-2,\\ -x^2+2x+8, & x\ge -2. \end{cases}$$

Преобразуем вторую часть:

$$-x^2+2x+8=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+9.$$

Значит, при $$x\ge -2$$ график — ветвь параболы с вершиной в точке $$(1;9)$$, а при $$x<-2$$ — луч прямой $$y=-x-2$$.

Чтобы прямая $$y=p$$ имела с графиком ровно две общие точки, рассмотрим пересечения с каждой частью.

1) С прямой $$y=-x-2$$ при $$x<-2$$:

$$p=-x-2 \quad \Rightarrow \quad x=-p-2.$$

Точка принадлежит этой части графика, если

$$-p-2<-2 \quad \Rightarrow \quad p>0.$$

2) С параболой $$y=-(x-1)^2+9$$ при $$x\ge -2$$:

$$p=-(x-1)^2+9 \quad \Rightarrow \quad (x-1)^2=9-p.$$

Две точки пересечения будут, если

$$9-p>0 \quad \Rightarrow \quad p<9,$$

и обе найденные точки удовлетворяют условию $$x\ge -2$$. Для $$0<p<9$$ это выполняется.

При $$p=0$$ прямая проходит через точку стыка $$(-2;0)$$ и ещё пересекает параболу в одной точке, всего получается две общие точки. При $$p=9$$ прямая касается параболы в вершине $$(1;9)$$ и пересекает левую часть графика в одной точке, тоже всего две общие точки.

Следовательно, нужные значения $$p$$:

$$p=0 \quad \text{и} \quad p=9.$$