Итоговое повторение Упр.172 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях р график данной функции имеет с прямой y=p две общие точки?

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} -x-2, & x<-2,\\ -x^2+2x+8, & x\ge -2. \end{cases} $$

Преобразуем вторую часть:

$$ -x^2+2x+8=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+9. $$

Значит, при $x\ge -2$ график — ветвь параболы с вершиной в точке $(1;9)$, а при $x<-2$ — луч прямой $y=-x-2$.

Чтобы прямая $y=p$ имела с графиком ровно две общие точки, рассмотрим пересечения с каждой частью.

1) С прямой $y=-x-2$ при $x<-2$:

$$ p=-x-2 \quad \Rightarrow \quad x=-p-2. $$

Точка принадлежит этой части графика, если

$$ -p-2<-2 \quad \Rightarrow \quad p>0. $$

2) С параболой $y=-(x-1)^2+9$ при $x\ge -2$:

$$ p=-(x-1)^2+9 \quad \Rightarrow \quad (x-1)^2=9-p. $$

Две точки пересечения будут, если

$$ 9-p>0 \quad \Rightarrow \quad p<9, $$

и обе найденные точки удовлетворяют условию $x\ge -2$. Для $0<p<9$ это выполняется.

При $p=0$ прямая проходит через точку стыка $(-2;0)$ и ещё пересекает параболу в одной точке, всего получается две общие точки. При $p=9$ прямая касается параболы в вершине $(1;9)$ и пересекает левую часть графика в одной точке, тоже всего две общие точки.

Следовательно, нужные значения $p$:

$$ p=0 \quad \text{и} \quad p=9. $$